обратимость матриц E+BA и E+AB

[2old]

Доказать, что если матрица $E+AB$ обратима, то матрица $E+BA$ тоже обратима.
$B(E+AB)=BE+BAB=(E+AB)B$
Пусть $C=(E+AB)^{-1}$, тогда

$$(E+AB)C=E$$

$$B(E+AB)C=B$$

$$(E+BA)BC=B$$

И тут я застрял, т.к. про обратимость $B$ ничего не известно.

[Narn]

По-моему, в книжке Н.И. Вавилова, "Конкретная теория групп" (а может, колец?) я прочитал про общий метод, которым надо пользоваться (возможно, для этой самой задачи, я уже не помню).
Вначале мы угадываем формулу с помощью степенных рядов, а потом уже строго ее доказываем. В данном случае пользоваться будем рядом для геом. прогрессии $(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$, помня о том, что умножение матриц некоммутативно. Имеем:

$$ (E + AB)^{-1} = E - AB + (AB)(AB) - (AB)(AB)(AB) + \dots .$$

Нам хочется обратить $E + BA$, то есть получить ряд

$$ (E + BA)^{-1} = E - BA + (BA)(BA) - (BA)(BA)(BA) + \dots .$$

Теперь, если вы ряд для $(E + AB)^{-1}$ умножите слева на $B$, справа на $A$, то вы увидите, что остался лишь один шаг к нашей цели. Это даст вам догадку, как должна выглядеть формула для $(E + BA)^{-1}$. Затем эту догадку надо обосновать аккуратной выкладкой, уже без всяких рядов.