Ёмкость сферического конденсатора

[Atom001]

Здравствуйте!
Я вывел формулу сферического конденсатора:
$C=\frac{q}{U}=\frac{\sigma_m S_m}{Ed}$
Где, индекс $m$ означает принадлежность параметра к сфере маленького радиуса, а индекс $b$ - сфере большого радиуса.
Поле между сферами - это только поле маленькой сферы, так как большая сфера внутри себя поле не создаёт. Тогда, $C=\frac{\sigma_m S_m}{E_m (R_b-R_m)}$
Учитывая, что $S_m=4\pi {R_m}^2$, $E_m=\frac{\sigma_m {R_m}^2}{\varepsilon \varepsilon_0 r^2}$, получу

$$C=\frac{4\pi\varepsilon \varepsilon_0 r^2}{R_b-R_m}$$

Где $r$ - расстояние от центра маленькой сферы.

Получается, что ёмкость сферического конденсатора зависит от расстояния от центра маленькой сферы. Что означает с физической точки зрения полученный результат?
Полученная формула, кстати, сильно похожа на $C=\frac{4\pi\varepsilon \varepsilon_0 R_b R_m}{R_b-R_m}$. Значит, как-то можно выразить $r^2$ через $R_b R_m$? Как?

[profrotter]

Atom001 в сообщении #1016785 писал(а):

Я вывел формулу сферического конденсатора:
$C=\frac{q}{U}=\frac{\sigma_m S_m}{Ed}$

Не-а. Нельзя заменить $U$ на $Ed$, как это делалось в плоском конденсаторе, поскольку в сферичесом поле неоднородно. Откройте любой учебник по физике - там эта формула для ёмкости сферического конденсатора давным-давно получена.

[Atom001]

profrotter в сообщении #1016795 писал(а):

Нельзя заменить $U$ на $Ed$, как это делалось в плоском конденсаторе, поскольку в сферичесом поле неоднородно.

А если сделать так. Взять маленький кусочек этого конденсатора, настолько маленький, что поле в нём можно считать однородным. Тогда для этого кусочка будет верно, что $\delta U = \delta E d$. Но $\delta U = \varphi_1 - \varphi_2$. С другой стороны (для всего конденсатора), $U=\varphi_1 - \varphi_2$, тогда получается, что $U=\delta U=\delta E d$. Но $\delta E$ во всех точках одна и та же. И она же равна $E$ поля маленькой сферы. Или не равна?

profrotter в сообщении #1016795 писал(а):

Откройте любой учебник по физике - там эта формула для ёмкости сферического конденсатора давным-давно получена.

Я понимаю, что она уже давно выведена. Но когда я сам пытаюсь что-то выводить, то обнаруживаются множественные пробелы в знаниях, которые потом я устраняю.

[rustot]

Atom001 в сообщении #1016803 писал(а):

если сделать так. Взять маленький кусочек этого конденсатора, настолько маленький, что поле в нём можно считать однородным

И потом эти маленькие кусочки, в каждом из которых поле разное и разность потенциалов разная, нужно все сложить, чтобы получить полную разность потенциалов, эта операция называется интегрированием. $dU = E(r) dr \Rightarrow \Delta U = dU_1+dU_2+dU_3+... = \int_{r_1}^{r_2} dU = \int_{r_1}^{r_2} E(r) dr$

Поле же равно $\frac{q}{R_m^2}$ только у поверхности малой сферы, на расстоянии $dr$ от нее оно уже поменьше $\frac{q}{(R_m+dr)^2}$

[Atom001]

rustot в сообщении #1016806 писал(а):

в каждом из которых поле разное и разность потенциалов разная

Вот здесь не понял. Почему там поля разные? Если брать маленькие кусочки, то там $\delta E_m=\frac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$. Плотность заряда для всех маленьких кусочков одинакова, а это значит, что и напряжённость будет везде одинакова (по модулю, конечно).
Далее, напряжение. Напряжение суть разность потенциалов, а потенциалы обеих сфер везде одинаковы, значит и напряжения между двумя точками сфер одинаковы, если эти точки лежат на одном радиусе большой сферы. Получается, что все $\delta U$ одинаковы.

[rustot]

Atom001 в сообщении #1016810 писал(а):

Вот здесь не понял. Почему там поля разные? Если брать маленькие кусочки, то там $\delta E_m=\frac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$

Это только у поверхности сферы. А в микроне от нее поле уже поменьше, в двух микронах от нее еще меньше. Поэтому разность потенциалов между поверхностью и точкой в микроне от нее больше чем разность потенциалов между точкой в микроне от поверхности и точкой в двух микронах от поверхности. А чтобы получить разность потенциалов между поверхностью и точкой на большом расстоянии от нее нужно сложить все эти маленькие кусочки разностей потенциалов на всем пути $\varphi_n-\varphi_0 = (\varphi_1-\varphi_0) + (\varphi_2-\varphi_1) + ... = E_1 dr_1 + E_2 dr_2 + ...$

[Munin]

Atom001 в сообщении #1016803 писал(а):

Взять маленький кусочек этого конденсатора, настолько маленький, что поле в нём можно считать однородным.

Вы имеете в виду, кусочек, идущий по радиусу? Ни в одном таком кусочке поле нельзя считать однородным, оно спадает.

[Atom001]

rustot, я понял, о чём Вы говорите. Действительно, взяв интеграл, я получил верную формулу.
Но до этого говорил о другом. Я предлагал разбить конденсатор на кусочки "перпендикулярные обкладкам" (чтобы эти кусочки представляли из себя маленькие плоские конденсаторы), а Вы, как я понял, предлагаете брать кусочки "параллельные" обкладкам. Ваше объяснение я понял, давайте теперь с моим разберёмся.

-- 18.05.2015, 22:21 --

Munin меня опередил.

Munin в сообщении #1016817 писал(а):

Ни в одном таком кусочке поле нельзя считать однородным, оно спадает.

Но ведь в пределе этот спад будет равен 0. То есть, если площадь обкладок будет стремиться к 0, то и поле будет "стремиться к однородности".

-- 18.05.2015, 22:26 --

Но даже если поле и нельзя считать однородным, то по крайней мере напряжение же ведь между обкладками будет одинаково для всех кусочков.

[rustot]

Atom001 в сообщении #1016819 писал(а):

чтобы эти кусочки представляли из себя маленькие плоские конденсаторы

В плоских конденсаторах поле только приблизительно однородно и только когда размеры пластин много больше расстояния между ними. В точности однородно только для бесконечных плоскостей

Между малыми заряженными площадками на большом расстояниях друг от друга вы не можете считать поле однородным даже приближенно

Это во-первых. Во-вторых вырезанный сектор с двумя маленькими площажками сфер НЕ будет иметь такую же разность потенциалов как сферы целиком. Потому-что на каждом малом участке потенциал создается ВСЕМИ зарядами обоих сфер. То что поле над участком численно пропорционально плотности заряда в этом участке это лишь математический фокус, на самом деле это сумма всех полей от всех участков

[Atom001]

rustot в сообщении #1016832 писал(а):

Между малыми заряженными площадками на большом расстояниях друг от друга вы не можете считать поле однородным даже приближенно

Даже когда эти площадки бесконечно малы?

[Ms-dos4]

Atom001
Если площадка бесконечно мала (или, например, очень далеко), её поле есть поле точечного заряда в первом приближении. Очевидно, неоднородное.

[Atom001]

rustot в сообщении #1016832 писал(а):

Это во-первых. Во-вторых вырезанный сектор с двумя маленькими площажками сфер НЕ будет иметь такую же разность потенциалов как сферы целиком. Потому-что на каждом малом участке потенциал создается ВСЕМИ зарядами обоих сфер. То что поле над участком численно пропорционально плотности заряда в этом участке это лишь математический фокус, на самом деле это сумма всех полей от всех участков

Здесь тоже не могу понять.
Ну хорошо, тогда начнём сначала. Разбили конденсатор на маленькие кусочки.
1) Что называется напряжением между обкладками этих кусочков? $\delta U=\varphi_1-\varphi_2$?
2) Потенциал сферы равен потенциалу какой-то её части?

-- 18.05.2015, 22:56 --

Ms-dos4 в сообщении #1016840 писал(а):

Если площадка бесконечно мала (или, например, очень далеко), её поле есть поле точечного заряда в первом приближении. Очевидно, неоднородное.

Действительно! Тогда получается, что если я буду делить конденсатор на всё меньшие и меньшие части, то сначала поле будет стремиться к однородному, а потом опять будет стремиться от однородного. Значит, правда, никакой кусочек сферического конденсатора не будет плоским конденсатором.

[rustot]

Atom001 в сообщении #1016841 писал(а):

1) Что называется напряжением между обкладками этих кусочков?

Напряжением, разностью потенциалов, называется работа, которую поле совершит над единичным зарядом $\frac{A}{q} = \frac{1}{q} \int \vec{F} \vec{dr} = \frac{1}{q} \int q\vec{E} \vec{dr} = \int \vec{E} \vec{dr}$

ЕСЛИ поле однородное, то его можно вынести за интеграл и тогда разность потенциалов равна скалярному произведению вектора поля на разность радиус-векторов точек. Это частный случай, к которому неоднородное поле сферы свести ну никак нельзя

Atom001 в сообщении #1016841 писал(а):

Потенциал сферы равен потенциалу какой-то её части?

Да, пока она целая. Если вы из нее как дольку из арбуза вырежете кусочек и унесете, то его потенциал будет другим. Потому-что его величина зависит от всех зарядов

[Atom001]

rustot, всё ясно! Спасибо!

У меня накопился ещё один вопрос. Если взять плоский конденсатор и повернуть одну из его обкладок на какой-то угол, конденсатор будет запасать энергию в таком состоянии? Если да, то что называть ёмкостью такого конденсатора (какая формула будет)?

[rustot]

Это нужно рассчитать равновесное распределение заряда по пластинам при таком их взаимном положении, что есть задача сложная в общем случае. Проще посчитать численно на компьютере