Непрерывность оператора

[kotopes]

Добрый день! Имеется оператор $A:L^2[0,1]\rightarrow l^2$, действующий так $(Af)_{n}=\int_{0}^{1}x^n f(x)dx$. Требуется установить непрерывность.Пытался использовать тест Шура, но никак подходящих функций подобрать не могу.

[Oleg Zubelevich]

а неравенство Коши-Буняковского применять не пробовали?

-- Вс май 17, 2015 12:48:38 --

оператор, кстити, не только непрерывный, но и компактный

[kotopes]

Пробовал.И вот что выходит : $\parallel Af \parallel^2 \leq \parallel f \parallel^2\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$.Что из этого получается не очень ясно.

[Oleg Zubelevich]

вообще да, тут видимо посложнее

[kotopes]

Вообще,как мне представляется,действовать через оценки здесь сложно.Советовали использовать тест Шура, но опять-таки не удаётся разумно выбрать функции.

[Oleg Zubelevich]

сопряженный оператор рассмотрите и будет Вам счастье

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #1016526 писал(а):

сопряженный оператор рассмотрите и будет Вам счастье

Там вроде бы одна из форм Гильберта возникает. Могут возникнуть затруднения.

kotopes в сообщении #1016398 писал(а):

не удаётся разумно выбрать функции.

Нужна функция и последовательность.
Попробуйте
$\varphi(x) = \frac{1}{(1-x)^\alpha}$

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #1016555 писал(а):

Там вроде бы одна из форм Гильберта возникает. Могут возникнуть затруднения.

не вижу затруднений

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #1016557 писал(а):

не вижу затруднений

Это не удивительно. Вы же и не спрашиваете совета

[kotopes]

Пробовал $\alpha=\frac{1}{2}$,там интеграл оценивается чем-то вроде $\frac{k}{\sqrt{n}}$.Но тогда нужный ряд разойдется.При других $\alpha$ будут вообще лезть не понятно как вычислимые гамма-функции.Формами Гильберта не владею.

[g______d]

$A^*A$ -- интегральный оператор в $L^2[0,1]$ с ядром $\frac{1}{1-xy}$.

[kotopes]

$y$ ?

[g______d]

Да, $(A^*Af)(x)=\int_0^1 (1-xy)^{-1}f(y)\,dy$.

[kotopes]

А, ну да, извиняюсь.Всем спасибо за помощь!

[Oleg Zubelevich]

сопряженный оператор действует так $\ell^2\ni\{c_k\}\mapsto\sum_k c_k x^k\in L^2[0,1],\quad k=1,2,\ldots$

Т.е. последнее включение это как раз то, что надо проверить и непрерывность доказаь.
Обозначим $g(z)=\sum_k c_k z^k$. Прямой проверкой убеждаемся что $g\in L^2(S)$, где $S$ -- единичная окружность в $\mathbb{C}$ с центромм в нуле.
Имеем

$$g(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_S\frac{g(\xi)}{\xi-z}d\xi$$

Остается поменять порядок интегрирования в формуле

$$\int_{[0,1]}dz\int_Sd\xi\int_Sd\eta\frac{g(\xi)}{\xi-z}\frac{g(\eta)}{\eta-z}$$

и убедиться, что указанный тройной интеграл сходится применяя неравенство Коши.