сопряженный оператор действует так
![$\ell^2\ni\{c_k\}\mapsto\sum_k c_k x^k\in L^2[0,1],\quad k=1,2,\ldots$ $\ell^2\ni\{c_k\}\mapsto\sum_k c_k x^k\in L^2[0,1],\quad k=1,2,\ldots$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/f/95f4014e593e44e7e0d6afac7d712b7a82.png)
Т.е. последнее включение это как раз то, что надо проверить и непрерывность доказаь.
Обозначим

. Прямой проверкой убеждаемся что

, где

-- единичная окружность в

с центромм в нуле.
Имеем

Остается поменять порядок интегрирования в формуле
![$$\int_{[0,1]}dz\int_Sd\xi\int_Sd\eta\frac{g(\xi)}{\xi-z}\frac{g(\eta)}{\eta-z}$$ $$\int_{[0,1]}dz\int_Sd\xi\int_Sd\eta\frac{g(\xi)}{\xi-z}\frac{g(\eta)}{\eta-z}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244eae426c5aa098c304b5b87604e9f482.png)
и убедиться, что указанный тройной интеграл сходится применяя неравенство Коши.