2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 12:37 
Добрый день! Имеется оператор $A:L^2[0,1]\rightarrow l^2$, действующий так $(Af)_{n}=\int_{0}^{1}x^n f(x)dx$. Требуется установить непрерывность.Пытался использовать тест Шура, но никак подходящих функций подобрать не могу.

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 12:47 
а неравенство Коши-Буняковского применять не пробовали?

-- Вс май 17, 2015 12:48:38 --

оператор, кстити, не только непрерывный, но и компактный

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 13:24 
Пробовал.И вот что выходит : $\parallel Af \parallel^2 \leq \parallel f \parallel^2\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$.Что из этого получается не очень ясно.

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 14:15 
вообще да, тут видимо посложнее

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 14:21 
Вообще,как мне представляется,действовать через оценки здесь сложно.Советовали использовать тест Шура, но опять-таки не удаётся разумно выбрать функции.

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 19:24 
сопряженный оператор рассмотрите и будет Вам счастье

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 21:46 
Oleg Zubelevich в сообщении #1016526 писал(а):
сопряженный оператор рассмотрите и будет Вам счастье

Там вроде бы одна из форм Гильберта возникает. Могут возникнуть затруднения.
kotopes в сообщении #1016398 писал(а):
не удаётся разумно выбрать функции.

Нужна функция и последовательность.
Попробуйте
$\varphi(x) = \frac{1}{(1-x)^\alpha}$

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 21:47 
sup в сообщении #1016555 писал(а):
Там вроде бы одна из форм Гильберта возникает. Могут возникнуть затруднения.

не вижу затруднений

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 21:50 
Oleg Zubelevich в сообщении #1016557 писал(а):
не вижу затруднений

Это не удивительно. Вы же и не спрашиваете совета :-)

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 23:22 
Пробовал $\alpha=\frac{1}{2}$,там интеграл оценивается чем-то вроде $\frac{k}{\sqrt{n}}$.Но тогда нужный ряд разойдется.При других $\alpha$ будут вообще лезть не понятно как вычислимые гамма-функции.Формами Гильберта не владею. :-(

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 06:59 
Аватара пользователя
$A^*A$ -- интегральный оператор в $L^2[0,1]$ с ядром $\frac{1}{1-xy}$.

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 12:14 
$y$ ?

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 12:19 
Аватара пользователя
Да, $(A^*Af)(x)=\int_0^1 (1-xy)^{-1}f(y)\,dy$.

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 14:11 
А, ну да, извиняюсь.Всем спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение19.05.2015, 11:12 
сопряженный оператор действует так $\ell^2\ni\{c_k\}\mapsto\sum_k c_k x^k\in L^2[0,1],\quad k=1,2,\ldots$

Т.е. последнее включение это как раз то, что надо проверить и непрерывность доказаь.
Обозначим $g(z)=\sum_k c_k z^k$. Прямой проверкой убеждаемся что $g\in L^2(S)$, где $S$ -- единичная окружность в $\mathbb{C}$ с центромм в нуле.
Имеем
$$g(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_S\frac{g(\xi)}{\xi-z}d\xi$$
Остается поменять порядок интегрирования в формуле
$$\int_{[0,1]}dz\int_Sd\xi\int_Sd\eta\frac{g(\xi)}{\xi-z}\frac{g(\eta)}{\eta-z}$$ и убедиться, что указанный тройной интеграл сходится применяя неравенство Коши.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group