Добавлял маленькие 5 копеек, а получилось .... Ладно, добавляю 5 рублей в надежде, что дальше вопросы отпадут навечно
Во-первых, я этот поток не зачинал и его место (обращение к модераторам) по-прежнему в теме "Грубое введение в тензоры". Его зачинал
Утундрий; пусть он и ведет тему. Модераторы, назначьте пжлст его ТС. К сожалению он, видимо, обиделся на то, что я "разбомбил" сначала его "числовое понимание" тензора, а потом "матричное". Вы зря так. Я ничего язвительного ни в ваш адрес, ни в адрес ваших постов не кидал и даже наоборот, в довольно деликатной манере подсказал, что нельзя тензоры мыслить как матрицы. Далее, я добавил немного слов, которых реально не хватает в книжных текстах; хороших, похуже и совсем плохих. Но, как ни странно, зачин
Утундрия назвать "Дискуссия о единственно верном ...", хотя и саркастический, но определенно к месту. Отсюда и мой тезис, что есть вещи, без которых понимание тензора НИКОГДА (
для всех времен и народов
) не будет по-настоящему правильным. И это не вопрос аналога (кванмех) интерпретации! Частичное понимание может быть вполне достаточным для приложенченского calculus, но не больше. Это и есть те 5 копеек, которые, как я думал по наивности, будут достаточны для добавления важных моментов к формальным определениям. Обращаю внимание. Не определение, а понимание определения, то, что за кадром и даже то, что отсутствует. Хоть тут давно и в изобилии писалось, как понимать тензоры-векторы, но почему-то никто не написал слова, от которых, по образному выражению
SergeyGubanov'а, должно "просиять".
Извиняюсь за повторение, но числовые (или в виде функций/матриц) реализации/представления математических/физических объектов следует отличать от самих этих объектов. Точно также как 5 тонн навоза ничем не отличается от 5000 кг этого же навоза, в то время как мы пишем в одном случае "5", а в другом "5000". Если вы пнете ногой эти "5000" или эти "5", эффект будет один и тот же. Да простит меня
g______d за "снова навоз". Чтобы усилить важность осознания разницы между
объектом и
представлением, приведу пример, когда ситуация "еще хуже". Есть РАЗНЫЕ представления одного объекта, которые не эквивалентны друг другу. Это матричные представления конечно порожденных групп. Группа, как объект
одна, а ее матричные реализации
(их полно) не сводимы друг к другу никакими преобразованиями подобия
.
Если не вдолбить себе в голову понимание про представление-объект, то бесполезно! Рано или поздно любая интерпретация будет натыкаться на неразрешимые противоречия: "что ж такое, черт возьми, тензор? Еще пример. Вектор, как элемент ЛВП, есть просто абстрактный элемент ЛВП; оно всегда определено над числовым полем (над числами). Это может быть, в частности, тот самый школьный отрезок со стрелочкой, но, подождите секундочку, никаких "чисел-координат у этой стрелочки" еще нет. Теперь, у ЛВП есть понятие сложение, размерность и базис. Отсюда возникает ПРОВОКАЦИЯ, что любой вектор (элемент этого ЛВП), МОЖНО ОТОЖДЕСТВИТЬ с набором его координат в заданном базисе. Но базисы можно как угодно менять (навоз мерить в килограммах или тоннах) и поэтому эти числа-координаты могут меняться тоже как угодно. Ответ, выражаясь словами персонажа гоголевского "Вия", НЕ МОЖНО! Вывод, как это мыслит себе правильный физик, таков: нет и быть не может абсолютно никаких предпочтительных чисел-значений для того зверя, который мы называем/определяем словом вектор; "мой вектор", "физический вектор скорости и т.д.". Есть вектор со своим внутренним смыслом. Заменяем здесь слово вектор на тензор и повторяем мантру.
Продолжаем пример. Выше подробно приводились выдержки из Векуа. Там определение нормальное и вполне удовлетворительное. Главное, и что хорошо, что он не пишет "набор функций/чисел меняющихся по правилу" (как и прежде, выступаю с призывом к общественности такие определения - если услышите или увидете -
мочить
до уничтожения). Например, предложите человеку, дающему такое определение, случай 1-мерного пространства и 1-мерного вектора. А теперь произнесите: беру функцию
. И заставьте теперь попугайничающего свое определение, объяснить "евоную же" фразу: "Если
меняется правилу blah-blah-blah, тогда он, т.е. "синус от икс", есть вектор". После этого мочить, пока не осознает полную бессмыслицу этой фразы! До тех пор пока не прояснится, что НЕЧТО, названное
Утундрием "единственно верное понимание...", очень даже есть.
Возвращаемся к Векуа. Это определение у него не для тензора, а для координатного представления тензора. Грубо говоря, для тех самых "трех функций, которые "могут ли быть вектором?" (см. поток, как мне говорили, с сумасшедшим и все другие потоки про тензоры). То есть он дает определение для совокупности/набора
, но не для
. Последнее принято называть инвариантным заданием. В это связи последующий вопрос Zubelevich'а - после цитат Векуа - от том, а что такое
(?) лишен смысла. В векуавских определениях нет никаких "дэиксов". Причина в том, что там они и не нужны, так как речь не идет об инвариантных конструкциях. Он объявляет совокупности величин во всех координатах (его слова: "задано правило-сопоставление"), а потом проверяет. Связаны ли эти наборы в одних координатах с наборами в других координатах по тензорному закону. Это худо-бедно приемлимый способ введения координатного представления для тензора-вектора; рабочий инструментарий тензорного исчисления гравитационистов. Но надо понимать, систем координат бесконечно и несчетно, поэтому задать во всех координатах можно только "задав где-то", а потом указать правило пересчета "в другие". У него это нормально прослеживается. Но задавать тензор СРАЗУ, ВСЮДУ и ПОЛНОСТЬЮ через числа, т.е. игнорируя формулы замены координат, можно только в исключительных случаях. Это ноль-тензор и тот самый пресловутый
из-за которого
Утундрий разжег сыр-бор. Нетрудно понять почему это так; вот набросок док-ва. В законе преобразования стоят произвольные(!) матрицы Якоби
. Если задавать координаты тензора во всех координатах "через заведомо предписанные числа", то это возможно только если эти матрицы Якоби будут согласованно сокращать друг друга. Иначе они полезут со своими числовыми значениями в координаты тензора. Либо, в силу однородности закона преобразования, все координаты всегда есть нули. Вот в силу сокращения мы и получаем, что способ задания через числа возможен только в виде совокупностей
и их (тензорных) произведений друг на друга
Никаких других чисто числовых способов не придумать (если строже, то речь идет о тензорных произведениях (ко)касательных пр-в ддруга).
Если вы указали правило вычисления (числовые значения) совокупности величин во всех координатах и
у вас нет противоречия к тому, с каким типом вы связываете эти величины, то никакой комар носа не подточит. Этот тип вы можете - типично - задавать по закону преобразования. Он может быть тензорный, неоднородный тензорный (для связностей), скалярный или еще какой; лишь бы группу образовывал. Поэтому бесполезно искать противоречия в тех контр-примерах, где я строил ("доказывал") тензоры, скаляры и разные другие "кучки чисел". Во всех тех постах я указывал (1) значения/числа и (2) объявлял какие сущности за ними стоят. Также как и в примере с синусом, никто, никогда и ни в какой интерпретации-определении не докажет, что дельта Кронекера
есть тензор, а
не есть тензор. Или, что
есть набор скаляров
.Под сущностями там, всегда, везде понимается следующее. Физики дают способ вычисления/измерения величин. Проверяют правила перехода... совпало с тензором, значит это тензор. Например зададим
Совпало со скаляром (набором скаляров), значит это скаляры. Математики называют это геометрический объект. Т.е. объекту дают определение, а потом строят его из того что уже имели, в том числе из уже имеющихся геометрических объектов. По секрету даже скажу, что вообще, какой бы тензор вы ни имели, у него всегда есть способ задания через некоторый скалярный объект. Но такого способа нет в определениях Векуа потому, что, еще раз, он не работает с инвариантным заданием тензоров, а с их координатными реализациями. В координатных определениях тензоров нет
. Там есть только
и матрицы Якоби, указанные выше.
Возвращусь снова к тому самому
. Вот вам "доказательства" того, чем этот "дэиксодин" является. Если
- это координата на многообразии, то это просто дифференциал координаты: приращение величины, принимающей континуум значений. Все. Никакие тензоры здесь и не паслись. Если
- это была компонента вектора
, то
- это числовой дифференциал числовой величины. С точки зрения геометрии - это не есть геометрический объект, т.е. просто ничто; некая хрень, которую ни к чему не приложишь, так как она меняется непредсказуемо. Она совершенно не самодостаточна/замкнута. Если
- это было числовое представление скалярного поля
, то
- это дифференциал скалярного поля на многообразии. Вполне корректно определенная величина. Конкретный дифференциал конкретного числового скалярного поля. Но такого рода дифференциалы
образуют ЛВП и, следовательно их все дифференциалы строятся линейно из такого сорта дэисков. В этом контексте, этот дэикс есть один из базисных тензоров/векторов
(обозначение!!), которые живут в кокасательном слое над многообразием. Т.е. этот
- есть тензор, можете назвать его словом 1-форма, если хотите выглядеть поумнее. Слова и вопросы "какие у него координаты?" здесь не уместны. Это элемент векторного пространства;
у него координаты могут быть любыми. В каком базисе вам нужны координаты? Если вы имеете в виду, что он сам - один из базисных, тогда я не против, но вам вопрос: на каком месте по счету вы его назначаете? На втором? Хорошо, тогда вот вам его координаты:
; а зачем они вам? Вот теперь этот/такой
, т.е. "ДэИксОдин с
этим математическим содержанием" и его другие "соучастники"
, позволяют определять любые контравариантные тензоры (контравекторы) через "простые и легко осязаемые" скаляры
; о чем упомянуто выше.
Олегу Зубелевичу. Не ругайте меня, что ломлюсь в открытую дверь. Опять-таки, не вижу в упор даже некоторых из пропечатанных выше важнейших смысловых утверждений в литературе по ДифГему или тензорам. Может, правда, немцы-итальянцы писали, когда изобретали Ricci calculus.