Дискуссия о единственно верном понимании тензора

[maximav]

Ну Вы слишком приукрашиваете меня. Я вставлял лишь свои 5 копеек про тензоры в том смысле, что явно озвучил слова, которые, по собственному опыту, с трудом отгадываются, если читать абстрактные определения. Тут не надо быть специалистом, но сказать как нельзя понимать-интерпретировать есть важный момент. Так получилось, что и хорошие мысли возникли по ходу потока, чего сам не ожидал. Например, "мало ли какие числовые наборы могут совпадать друг с другом". В любом случае, сколько себя помню еще с 1го курса, я в упор не понимал слов "набор функций преобразующихся". Было хоть убей.. потом понял, что это вульгаризация не просто искажающая сущность, а просто неправильно. Меняем слова функция на слова числа и тоже самое говорим про чисто алгебраический взгляд/введение тензоров. В книгах этой "малости" я не видел. Поэтому-то и вообще встрял в этот поток.

По поводу вашего вопроса, моя первая мысль - это обратная теорема Нетер. Она кажется есть у самой Нетер в ее работе. А если на пальцах, то можно рассуждать так. Система лагранжева, значит перегоняем ее в гамильтонову лежандром. Есть интеграл движения, значит он порождает коммутирующее с гамильтонианом векторное поле. Это и есть симметрия, по определению.

[Pphantom]

Утундрий в сообщении #1015495 писал(а):

У меня просьба к модераторам. Можно вот это всё, которое так сказать скопилось, куда-нибудь отделить? Под названием "Дискуссия о единственно верном понимании тензора", например.

Выполнено. Надеюсь, что переместил по адресу, а дальше, если что, пусть модераторы-математики разбираются.

[Утундрий]

Я, со своей стороны, тоже полностью высказался. Ну, можно, конечно, добавить, что согласно заветам Фейнмана... Только зачем? Кто в курсе, тот и так в курсе. А кто не в курсе, тот играет на трубе.

[ProPupil]

Цитата:

Вот вам доказательство, что символ Кронекера не является тензором, а является набором скаляров

Символы $\delta_{ik}, \delta^{ik}$ тензорами не являются, в то время как $\delta_i^k$ является тензором.

Давайте дадим чёткое, формальное определение тензоров. За основу взята книга "Основы тензорного анализа и теории ковариантов" И. Н. Векуа

Обозначения
$\mathfrak M$ - некоторое линейное пространство над комплексными или вещественными числами.
$\mathfrak M(\Omega)$ - множество отображений $f: \Omega \to \mathfrak M$
$\mathfrak M_x(\Omega)$ - то, что в предыдущем случае, для системы координат $(x)$

Определение
$(p,q)$-матрицей называется объект $A_{i_1,\dots,i_p}^{j_1,\dots,j_q}$, элементы которого принадлежат аддитивной группе $G$.
Этим определением мы расширяем понятие матрицы на случай нескольких индексов.



Определение
Пусть имеется некое правило, позволяющее для каждой системы координат $(x)$ определять (0,1)-матрицу $A^i(x)$ из пространства $\mathfrak M_x(\Omega)$, где последнее есть пространство функций координат точки области $\Omega$, состоящую из $n$ элементов, которые зависят от выбора параметризации области и, вообще говоря, от соответствующих координат точки.
Если при переходе от одних координат к другим элементы матрицы $A^i$ преобразуются когредиентно с дифференциалами координат $dx^i$, т. е. следуя контравариантному закону

$$A^{i'}=A^i\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^i}, \text{ т. е. } A^{i'}=A^iD_i^{i'},$$

то матрица $A^i$ называется контравариантным тензором 1-го ранга из модуля $\mathfrak M(\Omega)$, а её элементы - контравариантными компонентами тензора.

Определение
Пусть имеется некое правило, позволяющее для каждой системы координат $(x)$ определять (1,0)-матрицу $B_i(x)$ из пространства $\mathfrak M_x(\Omega)$, состоящую из $n$ элементов, которые зависят от выбора параметризации области и, вообще говоря, от соответствующих координат точки.
Если при переходе от одних координат к другим элементы матрицы $A^i$ преобразуются когредиентно с частными производными $\partial_i h$ скаляра $h$, т. е. подчиняется закону преобразования

$$B_{i'}=B_i\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}, \text{ т. е. } B_{i'}=B_iD_{i'}^{i},$$

то матрица $B^i$ называется ковариантным тензором 1-го ранга из модуля $\mathfrak M(\Omega)$, а её элементы - контравариантными компонентами тензора.

Теперь у меня есть определения тензоров 1 ранга. Прежде, чем переходить к определению тензоров высшего ранга, начнём с примера:

Рассмотрим $(p,q)$-матрицу вида

$$U_{i_1,i_2,\dots,i_p}^{j_1,\j2,\dots,j_q} = A_{i_1}\dots A_{i_p}\dots B^{j_1}\dotsB^{j_p}$$

, где $A_i$ и $B^i$ - соответственно ковариантный и контравариантный тензоры 1 ранга. Тогда при замене одних координат $x^i$ другими $x^{i'}$, элементы матрицы преобразуются по формулам:

$$U_{i_1',\dots,i_p'}^{j_1',\dots,j_q'}=U_{i_1,\dots,i_p}^{j_1,\dots,j_q}D_{i_1'}^{i_1}\dotsD_{i_p'}^{i_p}D_{j_1}^{j_1'}\dotsD_{j_q}^{j_q'}$$

Определение
Пусть имеется некоторое правило, позволяющее сопоставлять каждой координатной системе некоторую $(p,q)$-матрицу $U_{i_1,\dots,i_p}^{j_1,\dots,j_q}$, элементы которой принадлежат модулю $\mathfrak M_x(\Omega)$.
Если при замене одних координат другими элементы этой матрицы преобразуются когредиентно с элементами матрицы вида $U_{i_1,i_2,\dots,i_p}^{j_1,\j2,\dots,j_q} = A_{i_1}\dots A_{i_p}\dots B^{j_1}\dotsB^{j_p}$, т. е. подчиняются преобразованиям

$$U_{i_1',\dots,i_p'}^{j_1',\dots,j_q'}=U_{i_1,\dots,i_p}^{j_1,\dots,j_q}D_{i_1'}^{i_1}\dotsD_{i_p'}^{i_p}D_{j_1}^{j_1'}\dotsD_{j_q}^{j_q'}$$

, то $(p,q)$-матрица $U_{i_1,\dots,i_p}^{j_1,\dots,j_q}$ называется $(p,q)$-тензором.


Заключение
Теперь несложно проверить, что $\delta_{i'}^{k'} = \delta_k^i D_{k'}^kD_{i}^{i'}$, а значит, согласно определению, он является (1,1)-тензором.

[Oleg Zubelevich]

ProPupil
скажите пожалуйста, а $dx^1$ явлется тензором (в $\mathbb{R}^m=\{(x^1,\ldots,x^m)\}$) или нет?

[epros]

maximav в сообщении #1015377 писал(а):

Обосновать мое "не" это также как и попросить меня обосновать, что дерево НЕ есть рыба.

Странное дело, но обосновать что дерево не есть рыба -- можно. При этом $\delta^i_j$ есть тензор, а компоненты (этого и любого другого) тензора -- суть числа. И попытки отрицания всего этого -- есть идиотизм. Остаётся загадкой, зачем этим банальным вопросам посвящены столько много букв.

[Munin]

ProPupil в сообщении #1015866 писал(а):

Символы $\delta_{ik}, \delta^{ik}$ тензорами не являются, в то время как $\delta_i^k$ является тензором.

А символы $\delta_{ik},\delta^{ik}$ вообще на свете бывают???
Если у символа Кронекера поднять или опустить один индекс, то он превращается в метрический тензор: $g_{ik},g^{ik}.$

Также символ Кронекера используется в разных нетензорных выражениях, где его индексы не несут смысла тензорных индексов. (В каких-нибудь комбинаторных суммах, например, для удобства записи.) Там бывает запись $\delta_{ik},$ потому что различать верхние и нижние нетензорные индексы незачем.

В этом, кстати, и ошибка ТС: он спутал тензорные индексы с нетензорными, и сформировал величину с нетензорными индексами, выдав их за тензорные. Правда, это его не спасает: даже в такой интерпретации, он формально ошибся.

[ProPupil]

Oleg Zubelevich в сообщении #1015882 писал(а):

ProPupil
скажите пожалуйста, а $dx^1$ явлется тензором (в $\mathbb{R}^m=\{(x^1,\ldots,x^m)\}$) или нет?

Это зависит от смысла, который Вы вкладываете в это обозначение.

Если $dx^1$ следует понимать, как полный дифференциал функции $f(x)=x^1$, т. е. $dx^1 = 1dx^1 + 0dx^2 +\dots + 0dx^m$, тогда он является скаляром (или (0,0)-тензором).

Если я не правильно понял Ваш вопрос, уточните его, пожалуйста. Следующее дополнение будет, вероятнее всего, лишним, но я напомню остальным, что в записи используется суммирование по повторяющимся индексам.

[Oleg Zubelevich]

ProPupil в сообщении #1016260 писал(а):

Это зависит от смысла, который Вы вкладываете в это обозначение.

У этого обозначения смысл один и совершенно стандартный, в контексте тензорного анализа в особенности.

ProPupil в сообщении #1016260 писал(а):

Если $dx^1$ следует понимать, как полный дифференциал функции $f(x)=x^1$, т. е. $dx^1 = 1dx^1 + 0dx^2 +\dots + 0dx^m$, тогда он является скаляром (или (0,0)-тензором).

Ответ неверен.

[Munin]

ProPupil в сообщении #1016260 писал(а):

Если $dx^1$ следует понимать, как полный дифференциал функции $f(x)=x^1$

тогда это 1-форма.

[ProPupil]

Это широко известный факт, что 1-форма является ковариантным тензором 1 ранга, но меня немного смутило соотвествие этого утверждения с определением Ильи Несторовича.

[Macavity]

Не очень понятен смысл этого "о единственно верном понимании тензора".
Бывает, что и само понимание меняется.
В квантовой механике существует целый ряд интерпретаций и какая из них правильная до сих пор вопрос.
А в математике, что по-другому?
Когда-то нас обучали (на прикладной математике) основам теории вероятностей на основе аксиоматики Колмогорова - пространстве элементарных событий. Потом я прочитал книгу П.Уиттла, где в качестве основы строится аксиоматизация понятия математического ожидания, а не понятие вероятностной меры. Соответственно возникает вопрос, а какой из этих подходов "дает единственно верное понимание" вероятности. Мне кажется, что оба, просто эти понимания различны, что позволяет ставить различные проблемы и по разному их решать.

Я посмотрел в Википедии - статья тензоры дает два определения тензоров и вероятно оба верны, хоть дают различный подход.

Мне кажется, что как тензоры ни понимать, трудности все равно появятся когда рассматриваются производные Ли, связности, кривизна.

Кстати кто-нибудь может подсказать, является ли тензор Риччи, приводимый в качестве примера в Дубровине, Новикове, Фоменко связанным с потоками Риччи, которые использовал Перельман в доказательстве проблемы Пуанкаре?

[Утундрий]

Macavity в сообщении #1016592 писал(а):

Не очень понятен смысл этого "о единственно верном понимании тензора".

ТС за него ратует. Вот, мол, нашёл единственно верное, а всё остальное - сжечь!

[Munin]

Macavity в сообщении #1016592 писал(а):

Кстати кто-нибудь может подсказать, является ли тензор Риччи, приводимый в качестве примера в Дубровине, Новикове, Фоменко связанным с потоками Риччи, которые использовал Перельман в доказательстве проблемы Пуанкаре?

Цитата:

Уравнение потока Риччи имеет вид:


$\partial_t g_t=-2\cdot\mathrm{Rc}_{t},$

где $g_t$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра $t$), и $\mathrm{Rc}_{t}$ — её тензор Риччи.

(https://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_Риччи)

[maximav]

Добавлял маленькие 5 копеек, а получилось .... Ладно, добавляю 5 рублей в надежде, что дальше вопросы отпадут навечно

Во-первых, я этот поток не зачинал и его место (обращение к модераторам) по-прежнему в теме "Грубое введение в тензоры". Его зачинал Утундрий; пусть он и ведет тему. Модераторы, назначьте пжлст его ТС. К сожалению он, видимо, обиделся на то, что я "разбомбил" сначала его "числовое понимание" тензора, а потом "матричное". Вы зря так. Я ничего язвительного ни в ваш адрес, ни в адрес ваших постов не кидал и даже наоборот, в довольно деликатной манере подсказал, что нельзя тензоры мыслить как матрицы. Далее, я добавил немного слов, которых реально не хватает в книжных текстах; хороших, похуже и совсем плохих. Но, как ни странно, зачин Утундрия назвать "Дискуссия о единственно верном ...", хотя и саркастический, но определенно к месту. Отсюда и мой тезис, что есть вещи, без которых понимание тензора НИКОГДА ( для всех времен и народов ) не будет по-настоящему правильным. И это не вопрос аналога (кванмех) интерпретации! Частичное понимание может быть вполне достаточным для приложенченского calculus, но не больше. Это и есть те 5 копеек, которые, как я думал по наивности, будут достаточны для добавления важных моментов к формальным определениям. Обращаю внимание. Не определение, а понимание определения, то, что за кадром и даже то, что отсутствует. Хоть тут давно и в изобилии писалось, как понимать тензоры-векторы, но почему-то никто не написал слова, от которых, по образному выражению SergeyGubanov'а, должно "просиять".

Извиняюсь за повторение, но числовые (или в виде функций/матриц) реализации/представления математических/физических объектов следует отличать от самих этих объектов. Точно также как 5 тонн навоза ничем не отличается от 5000 кг этого же навоза, в то время как мы пишем в одном случае "5", а в другом "5000". Если вы пнете ногой эти "5000" или эти "5", эффект будет один и тот же. Да простит меня g______d за "снова навоз". Чтобы усилить важность осознания разницы между объектом и представлением, приведу пример, когда ситуация "еще хуже". Есть РАЗНЫЕ представления одного объекта, которые не эквивалентны друг другу. Это матричные представления конечно порожденных групп. Группа, как объект $\mathbf{G}$ одна, а ее матричные реализации $G$ (их полно) не сводимы друг к другу никакими преобразованиями подобия $G \mapsto U G U^{-1}$.

Если не вдолбить себе в голову понимание про представление-объект, то бесполезно! Рано или поздно любая интерпретация будет натыкаться на неразрешимые противоречия: "что ж такое, черт возьми, тензор? Еще пример. Вектор, как элемент ЛВП, есть просто абстрактный элемент ЛВП; оно всегда определено над числовым полем (над числами). Это может быть, в частности, тот самый школьный отрезок со стрелочкой, но, подождите секундочку, никаких "чисел-координат у этой стрелочки" еще нет. Теперь, у ЛВП есть понятие сложение, размерность и базис. Отсюда возникает ПРОВОКАЦИЯ, что любой вектор (элемент этого ЛВП), МОЖНО ОТОЖДЕСТВИТЬ с набором его координат в заданном базисе. Но базисы можно как угодно менять (навоз мерить в килограммах или тоннах) и поэтому эти числа-координаты могут меняться тоже как угодно. Ответ, выражаясь словами персонажа гоголевского "Вия", НЕ МОЖНО! Вывод, как это мыслит себе правильный физик, таков: нет и быть не может абсолютно никаких предпочтительных чисел-значений для того зверя, который мы называем/определяем словом вектор; "мой вектор", "физический вектор скорости и т.д.". Есть вектор со своим внутренним смыслом. Заменяем здесь слово вектор на тензор и повторяем мантру.

Продолжаем пример. Выше подробно приводились выдержки из Векуа. Там определение нормальное и вполне удовлетворительное. Главное, и что хорошо, что он не пишет "набор функций/чисел меняющихся по правилу" (как и прежде, выступаю с призывом к общественности такие определения - если услышите или увидете - мочить до уничтожения). Например, предложите человеку, дающему такое определение, случай 1-мерного пространства и 1-мерного вектора. А теперь произнесите: беру функцию $\sin(x)$. И заставьте теперь попугайничающего свое определение, объяснить "евоную же" фразу: "Если $\sin(x)$ меняется правилу blah-blah-blah, тогда он, т.е. "синус от икс", есть вектор". После этого мочить, пока не осознает полную бессмыслицу этой фразы! До тех пор пока не прояснится, что НЕЧТО, названное Утундрием "единственно верное понимание...", очень даже есть.

Возвращаемся к Векуа. Это определение у него не для тензора, а для координатного представления тензора. Грубо говоря, для тех самых "трех функций, которые "могут ли быть вектором?" (см. поток, как мне говорили, с сумасшедшим и все другие потоки про тензоры). То есть он дает определение для совокупности/набора $(A^1,A^2,A^3)$, но не для $\boldsymbol{A} = A^1\boldsymbol{e}_1+A^2\boldsymbol{e}_2+A^2\boldsymbol{e}_2$. Последнее принято называть инвариантным заданием. В это связи последующий вопрос Zubelevich'а - после цитат Векуа - от том, а что такое $dx^1$ (?) лишен смысла. В векуавских определениях нет никаких "дэиксов". Причина в том, что там они и не нужны, так как речь не идет об инвариантных конструкциях. Он объявляет совокупности величин во всех координатах (его слова: "задано правило-сопоставление"), а потом проверяет. Связаны ли эти наборы в одних координатах с наборами в других координатах по тензорному закону. Это худо-бедно приемлимый способ введения координатного представления для тензора-вектора; рабочий инструментарий тензорного исчисления гравитационистов. Но надо понимать, систем координат бесконечно и несчетно, поэтому задать во всех координатах можно только "задав где-то", а потом указать правило пересчета "в другие". У него это нормально прослеживается. Но задавать тензор СРАЗУ, ВСЮДУ и ПОЛНОСТЬЮ через числа, т.е. игнорируя формулы замены координат, можно только в исключительных случаях. Это ноль-тензор и тот самый пресловутый $\delta_j^k$ из-за которого Утундрий разжег сыр-бор. Нетрудно понять почему это так; вот набросок док-ва. В законе преобразования стоят произвольные(!) матрицы Якоби $\frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^k}$. Если задавать координаты тензора во всех координатах "через заведомо предписанные числа", то это возможно только если эти матрицы Якоби будут согласованно сокращать друг друга. Иначе они полезут со своими числовыми значениями в координаты тензора. Либо, в силу однородности закона преобразования, все координаты всегда есть нули. Вот в силу сокращения мы и получаем, что способ задания через числа возможен только в виде совокупностей $\delta_j^k$ и их (тензорных) произведений друг на друга

$$ \delta_j^k \cdot \delta_n^m\cdot \ldots\,. $$

Никаких других чисто числовых способов не придумать (если строже, то речь идет о тензорных произведениях (ко)касательных пр-в ддруга).

Если вы указали правило вычисления (числовые значения) совокупности величин во всех координатах и
у вас нет противоречия к тому, с каким типом вы связываете эти величины, то никакой комар носа не подточит. Этот тип вы можете - типично - задавать по закону преобразования. Он может быть тензорный, неоднородный тензорный (для связностей), скалярный или еще какой; лишь бы группу образовывал. Поэтому бесполезно искать противоречия в тех контр-примерах, где я строил ("доказывал") тензоры, скаляры и разные другие "кучки чисел". Во всех тех постах я указывал (1) значения/числа и (2) объявлял какие сущности за ними стоят. Также как и в примере с синусом, никто, никогда и ни в какой интерпретации-определении не докажет, что дельта Кронекера $\delta_j^k$ есть тензор, а $\delta_{jk}$ не есть тензор. Или, что $\delta_j^k$ есть набор скаляров .Под сущностями там, всегда, везде понимается следующее. Физики дают способ вычисления/измерения величин. Проверяют правила перехода... совпало с тензором, значит это тензор. Например зададим

$$\boldsymbol{E} = \nabla \varphi\,.$$

Совпало со скаляром (набором скаляров), значит это скаляры. Математики называют это геометрический объект. Т.е. объекту дают определение, а потом строят его из того что уже имели, в том числе из уже имеющихся геометрических объектов. По секрету даже скажу, что вообще, какой бы тензор вы ни имели, у него всегда есть способ задания через некоторый скалярный объект. Но такого способа нет в определениях Векуа потому, что, еще раз, он не работает с инвариантным заданием тензоров, а с их координатными реализациями. В координатных определениях тензоров нет $dx^k$. Там есть только $A_{\text{индексы}}$ и матрицы Якоби, указанные выше.

Возвращусь снова к тому самому $dx^1$. Вот вам "доказательства" того, чем этот "дэиксодин" является. Если $x^1$ - это координата на многообразии, то это просто дифференциал координаты: приращение величины, принимающей континуум значений. Все. Никакие тензоры здесь и не паслись. Если $x^1$ - это была компонента вектора $A_1(x)=x^1$, то $dx^1$ - это числовой дифференциал числовой величины. С точки зрения геометрии - это не есть геометрический объект, т.е. просто ничто; некая хрень, которую ни к чему не приложишь, так как она меняется непредсказуемо. Она совершенно не самодостаточна/замкнута. Если $x^1$ - это было числовое представление скалярного поля $U(x^1,x^2,\ldots)=x^1$, то $dx^1$ - это дифференциал скалярного поля на многообразии. Вполне корректно определенная величина. Конкретный дифференциал конкретного числового скалярного поля. Но такого рода дифференциалы $dx^k$ образуют ЛВП и, следовательно их все дифференциалы строятся линейно из такого сорта дэисков. В этом контексте, этот дэикс есть один из базисных тензоров/векторов $dx^1:=\boldsymbol{e}^1$ (обозначение!!), которые живут в кокасательном слое над многообразием. Т.е. этот $dx^1$ - есть тензор, можете назвать его словом 1-форма, если хотите выглядеть поумнее. Слова и вопросы "какие у него координаты?" здесь не уместны. Это элемент векторного пространства; у него координаты могут быть любыми. В каком базисе вам нужны координаты? Если вы имеете в виду, что он сам - один из базисных, тогда я не против, но вам вопрос: на каком месте по счету вы его назначаете? На втором? Хорошо, тогда вот вам его координаты: $(0,1,0,0...)$; а зачем они вам? Вот теперь этот/такой $dx^1$, т.е. "ДэИксОдин с этим математическим содержанием" и его другие "соучастники" $dx^k$, позволяют определять любые контравариантные тензоры (контравекторы) через "простые и легко осязаемые" скаляры $A_k\cdot dx^k$; о чем упомянуто выше.

Олегу Зубелевичу. Не ругайте меня, что ломлюсь в открытую дверь. Опять-таки, не вижу в упор даже некоторых из пропечатанных выше важнейших смысловых утверждений в литературе по ДифГему или тензорам. Может, правда, немцы-итальянцы писали, когда изобретали Ricci calculus.