3 вопроса по матану и функану

[Asalex]

1. Пусть $H$-предгильбертово пространство.$A:H \to H$-ограниченный линейный оператор.$||A|| < 1$. Существует ли

$$(I-A)^{-1}:H\to H$$

?
2. Пусть теперь $H$-гильбертово пространство.$A$ такое же, как и в первом пункте. В этом случае $\exists(I-A)^{-1}:H\to H$ и $||(I-A)^{-1}||\leq \frac{1}{1-||A||}$.
Может ли быть $||(I-A)^{-1}||< \frac{1}{1-||A||}$
3. Пусть $(X,\rho)$-метрическое пространство, $X$-линейное пространство над полем $P$.
Пусть метрика $\rho$ обладает таким свйством:$\forall \alpha \in P$ $\forall x\in X$ $\forall y \in X$ $\rho(\alpha x,\alpha y)\leq |\alpha| \rho(x,y)$. Может ли не выполняться свойство $\forall x\in X$ $\forall y\in X$ $\forall z\in X$ $\rho(x+z,y+z)=\rho(x,y)$?

[Brukvalub]

1. - Не обязательно. Приведите контрпример.
2. Да. Приведите пример.

Asalex писал(а):

$X$-линейное пространство над полем $P$.
Пусть метрика $\rho$ обладает таким свйством:$\forall \alpha \in P$ $\forall x\in X$ $\forall y \in X$ $\rho(\alpha x,\alpha y)\leq |\alpha| \rho(x,y)$

Непонятно, что есть

\[ \left| \alpha \right| \]

для произвольного поля?

[Asalex]

Brukvalub писал(а):

Непонятно, что есть

\[ \left| \alpha \right| \]

для произвольного поля?

Согласен.$P=\mathbb{R}$

[Juri]

Ответ на первые два вопроса можно найти в книге Колмогоров А.Н., Фомин С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа" на стр. 230

[Asalex]

В шестом издании этой книги на странице 230 излагается тема "Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве". Наверно, вы не это имели в виду. Скажите лучше главу и параграф.