Является ли модуль липшицевым в пространстве Соболева?

[ProPupil]

Пусть $G$ - ограниченная область в $\mathbb R^n$. Рассмотрим оператор $|\cdot|:W_p^1(G)\to W_p^1(G)$, переводящий функцию в её абсолютное значение. Существует ли константа $L>0$ такая, что $\||u|-|v|\|_{W_p^1(G)} \leq \|u-v\|_{W_p^1(G)}\, \forall u,v \in W_p^1(G)$?

**Попытка решения**
Прежде всего найдём $\frac{\partial|u|}{\partial x_m}$. Для этого рассмотрим функцию $f_h(t)={\sqrt{t^2+h^2}}$. Очевидно, $f_h\in C^1(G)$ и $|f'_h(t)|\leq 1$. Тогда в силу цепного правила для любой пробной функции $\varphi \in C_0^\infty(G)$

$$\int\limits_G f(u)\frac{\partial\varphi}{\partial x_m}\,dx=-\int\limits_G \frac{u}{\sqrt{u^2+h^2}}\frac{\partial u}{\partial x_m}\varphi\,dx$$

Теперь устремляем $h\to 0$. В силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости мы получим, что

$$\int\limits_G |u|\frac{\partial\varphi}{\partial x_m}\,dx=-\int\limits_G \operatorname{sgn} u\frac{\partial u}{\partial x_m}\varphi\,dx$$

,

откуда делаем вывод о том, что $\frac{\partial |u|}{\partial x_m} = \operatorname{sgn}u\frac{\partial u}{\partial x_m}$.

Далее, очевидно, что $\||u|-|v|\|_{L_p(G)} \leq \|u-v\|_{L_p(G)}$, поэтому задача сводится к следующей:

Существует ли такая константа $L>0$, что $\|\operatorname{sgn} u\frac{\partial u}{\partial x_m} - \operatorname{sgn}v\frac{\partial v}{\partial x_m}\|_{L_p(G)}\leq L\|\frac{\partial (u-v)}{\partial x_m}\|_{L_p(G)}$

Вот с последней частью и возникли проблемы: непонятно, как бороться с функцией знака. Заранее спасибо.

P. S. В свою очередь можно рассмотреть, вероятно, более простую задачу, поскольку возникла эта задача при изучении некоторых пределов.

Является ли функция знака липшицевой в пространстве Лебега, т. е. существует ли такая константа $L > 0$, что $\|\operatorname{sgn} u - \operatorname{sgn} v\|_{L_p} \leq L\|u-v\|_{L_p}$.

[Dan B-Yallay]

ProPupil в сообщении #1014589 писал(а):

Является ли функция знака липшицевой в пространстве Лебега, т. е. существует ли такая константа $L > 0$, что $\|\operatorname{sgn} u - \operatorname{sgn} v\|_{L_p} \leq L\|u-v\|_{L_p}$.

По-моему, если для достаточно малого $\varepsilon > 0$ брать функции $u=\varepsilon, \ v=-\varepsilon$ то никакими $L$ не добиться $2 \leqslant L 2\varepsilon $

[ProPupil]

Да, с последним утверждением я погорячился. Даже с более простым случаем, когда они связаны предельным соотношением, этого не будет:

$u_n = (-1)^nx^n \to 0$ в $L_p(0,1)$, но $\operatorname{sgn} u_n = (-1)^n$ не имеет сильного предела в $L_p(0,1)$

Исходная задача, которую я решал, состояла в доказательстве замкнутости оператора $|\cdot|:W_p^1(G) \to W_p^1(G)$, но этот оператор нелинеен, а ближайший аналог ограниченных операторов в этом случае - липшицевы операторы.