2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 15:44 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Вам нужно построить отображение из отрезка в квадрат. По точке отрезка вы найдёте последовательность. Вы уверены, что по последовательности вы восстановите точку в квадрате? Возможно, там получится, такая набор квадратиков, что их пересечение пусто.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 16:36 


09/11/12
233
Донецк
grizzly в сообщении #1014411 писал(а):

(Evgenii2012)

Позвольте пару дружеских советов по форуму.
1) Избегайте излишнего цитирования. Если этим злоупотреблять, тема становится нечитаемой и отпугивает потенциальных участников обсуждения. Цитируйте конкретное предложение, выделив его мышкой и нажав кнопку "Вставка".
2) Если Вы пишете сообщение без цитаты и обращаетесь в первую очередь к кому-то персонально, кликните на его имени (слева от любого его сообщения). Тогда имя собеседника появится в текстовом окне с нужным выделением (шрифт, цвет). Это удобно, поскольку собеседнику тут же придёт сообщение, что на него сослались или к нему обратились.
3) Или, проще говоря, посмотрите на поведение других участников :D


-- 13.05.2015, 14:17 --

Evgenii2012 в сообщении #1014407 писал(а):
Там просто опечатка - вместо $x_{n+1}$ надо $x_{n+2},$ всё.

Не всё, там же ещё $x_{n+3}$, $x_{n+5}$ и в других формулах тоже. Если Вам не сложно, лучше посмотрите всё внимательно и дайте исправленный вариант всей второй части того сообщения, а в идеале -- снабдите его кратким описанием своей идеи (что чему Вы хотите сопоставить). С таким описанием намного легче воспринимать доказательство, в котором не исключён риск недочётов (даже чисто технических или, вообще, опечаток).


Большое спасибо за ответ и анализ моего подхода. Моя идея заключается в том, что на точки квадрата, лежащие в незамкнутом квадрате $[0, 1)\times [0, 1),$ часть отрезка $[0, 1]$ отображается сравнительно просто, при этом, в эту часть переходит как раз "хорошее" множество точек отрезка -- т.е., таких, которые в образе не дадут точек квадрата с различной десятичной записью. "Плохое" множество точек отрезка, т.е., тех, которые в образе дают точки с неоднозначными представлениями, предлагается отобразить на оставшиеся стороны квадарата, которые остались не отображёнными. Точки сторон квадарата могути быть трёх видов: 1) когда $(1, x)$ (для $(x, 1)$ -- аналогично) такова, что все чётные элементы десятичного разложения координаты $x$ равны 9 с некоторого номера; 2) когда $(1, x)$ (для $(x, 1)$ -- аналогично) такова, что все нечётные элементы десятичного разложения координаты $x$ равны 9 с некоторого номера; 3) существуют сколь угодно большие чётные и нечётные номера последовательности десятичного разложения числа $x,$ не равные 9. Четвёртой ситуации не дано, и в каждой из 3-х ситуаций своё отображение. Сейчас я немного подкорректирую свой пример и выложу его в сеть (предлагаю обсудить). К сожалению, правильную формулу сразу написать не обещаю - тут действительно легко ошибиться, но проверить правильность, как Вы понимаете, вполне реально.

Итак, пусть у нас число $x\in [0,1]$ представляется бесконечной десятичной дробью вида $x=0,x_1x_2x_2\ldots .$ Бесконечные последовательности девяток, как и прежде, будем считать недопустимыми, за исключением случая $x_0=0,999\ldots ;$ В этом случае, сразу положим $f(x_0):=(1, 1).$ Далее, как и прежде, положим $f(0, x_1x_2x_3\ldots)=(0, x_1x_3x_5\ldots ; 0, x_2x_4x_6\ldots)$ в том и только том случае, если последовательность а) $x_i$ не является последовательностью вида $x=0,x_1\ldots x_{2k-1}9x_{2k+1}9x_{2k+3}9\ldots$ либо б) $x=0, x_1\ldots x_{2k}9x_{2k+2}9x_{2k+2}9\ldots$ (ведь именно эти последовательности дадут в образе "плохие" точки). Заметим, что множество тех $x=0,x_1x_2\ldots,$ для которых ни одно из условий а) и б) не выполнено, взаимнооднозначно отображается на $[0, 1)\times [0, 1).$ Теперь при каждом $n\in {\Bbb N},$ $n$ -- нечётно, положим $f(0,0x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=$
$=(1; 0,x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots),$ $f(0,1x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=$
$=(1; 0,x_2\ldots x_{n}x_{n+2}9x_{n+4}9x_{n+6}9\ldots),$ и при $0\ne x_1\ne 1$ $f(0,x_1x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=$$=(1; 0,x_1x_2\ldots x_{n}x_{n+1}\ldots),$ т.,е., одна из сторон квадрата $A_1=\{x=(x_1, x_2)\in {\Bbb R}^2:$ $ x_1=1, x_2\in [0, 1]\}$ взаимнооднозначно отображена посредством точек указанного множества. Аналогично поступаем со второй стороной квадрата $A_2=\{x=(x_1, x_2)\in {\Bbb R}^2:$$ x_2=1, x_1\in [0, 1]\}$ -- это случай чётного $n.$[/quote]

Предлагаю обсудить этот подход ещё раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 16:45 


13/08/14
350
slavav в сообщении #1014446 писал(а):
Возможно, там получится, такая набор квадратиков, что их пересечение пусто.

Вы правы. Но тогда надо делить так, чтобы номера совпадали. Т. е делим квадрат на четыре части и также на четыре части делим отрезок, и нумеруем одинаковыми номерами, и продолжаем дальше. Вроде в этом случае все получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Evgenjy в сообщении #1014470 писал(а):
Вроде в этом случае все получается.

Может и получается, но в любом случае нужно говорить ещё какие-то слова. Вот Вы продолжаете этот процесс до бесконечности и что получаете в итоге? Какую-то точку на отрезке и какую-то точку в квадрате? Но почему там и там будет точка? Вы же не сможете даже сослаться на теорему о вложенных компактах (у Вас и там и там полуоткрытые множества). Далее, когда Вы это обоснуете, нужно будет ещё обосновать, что ни одна точка отрезка не останется пропущена в результате проделанных операций.
Наконец, нужно будет ещё добавить парочку композиций отображений: слева -- для отображения отрезка в полуинтервал, справа -- для отображения квадрата без двух сторон в квадрат.

Тут только список недоработок выглядит чуть ли не объёмнее, чем целые варианты других обсуждаемых доказательств.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 17:26 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Evgenii2012 в сообщении #1014468 писал(а):
Теперь при каждом $n\in {\Bbb N},$ $n$ -- нечётно, положим
$f(0,0x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=(1; 0,x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)$
$f(0,1x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=(1; 0,x_2\ldots x_{n}x_{n+2}9x_{n+4}9x_{n+6}9\ldots),$ и при $0\ne x_1\ne 1$
$f(0,x_1x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=(1; 0,x_1x_2\ldots x_{n}x_{n+1}\ldots)$


В последней строке снова не совпадают индексы. Выхотели выбросить в этом случае девятки c индексами $n + 1 + 2k$? Тогда должно быть так:
$f(0,x_1x_2\ldots x_{n}9x_{n+2}9x_{n+4}9\ldots)=(1; 0,x_1x_2\ldots x_{n}x_{n+2}x_{n+4}\ldots)$

Если я угадал, то это не инъекция:
$f(0,020(90)) = (1; 0,2(09))$ (первая строка, $n = 3$)
$f(0,2(9099)) = (1; 0,2(09))$ (исправленная третья строка, $n = 1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
slavav
Хороший контрпример. От себя добавлю, что и просто выбрасывание девяток в последней формуле тоже не метод:
$f(0,2(91)) = (1; 0,2(1))$,
$f(0,211(91)) = (1; 0,2(1))$,
и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 21:09 


09/11/12
233
Донецк
Дорогие коллеги ! Большое спасибо за столь активное обсуждение. Я, естественно, согласен со всеми доводами. Сейчас я предложу другой вариант - давайте обсудим его.

Начало повторяется. Пусть у нас число $x\in [0,1]$ представляется бесконечной десятичной дробью вида $x=0,x_1x_2x_2\ldots .$ Бесконечные последовательности девяток, как и прежде, будем считать недопустимыми, за исключением случая $x_0=0,999\ldots ;$ В этом случае, сразу положим $f(x_0):=(1, 1).$ Далее, как и прежде, положим $f(0, x_1x_2x_3\ldots)=(0, x_1x_3x_5\ldots ; 0, x_2x_4x_6\ldots)$ в том и только том случае, если последовательность а) $x_i$ не является последовательностью вида $x=0,x_1\ldots x_{2k-1}9x_{2k+1}9x_{2k+3}9\ldots$ либо б) $x=0, x_1\ldots x_{2k}9x_{2k+2}9x_{2k+2}9\ldots$ (ведь именно эти последовательности дадут в образе "плохие" точки). Заметим, что множество тех $x=0,x_1x_2\ldots,$ для которых ни одно из условий а) и б) не выполнено, взаимнооднозначно отображается на $[0, 1)\times [0, 1).$

"Новая" часть. Если последовательность $x=0,x_1x_2\ldots x_{2n-1}9x_{2n+1}9x_{2n+3}9x_{2n+5}\ldots,$ где $n\geqslant 2,$то полагаем $f(x)=(1; 0, \underbrace{9\ldots 9}\limits_{2n-2}x_{2n-2}x_1x_2x_3\ldots x_{2n-5}x_{2n-4}x_{2n-3}x_{2n-1}x_{2n+1}x_{2n+3}\ldots)$ . Здесь стоит заметить, что $x_{2n-2}\ne 9$ по определению ! Далее, есть ещё точки вида $x=0,x_19x_39x_59\ldots$ . Возможны два случая: 1) $x_1\ne 9,$ тогда положим $f(x)=(1; x_1x_3x_5\ldots).$ 2) $x_1=9,$ тогда положим $f(x)=(1; 0, \underbrace{9\ldots 9}\limits_{2n-1}x_{2n+1}x_{2n+3}\ldots)$ , где $n$ соответствует наименьшему элементу $x_{2n+1},$ который отличен от числа 9. Указанное соотвествие переводит некоторое подмножество отрезка $[0, 1]$ на сторону квадрата $A_1=\{(1, x): x\in [0,1]\}$ и, вроде бы, оно взаимнооднозначно (Ваше мнение ?). С другой стороной квадрата - вполне аналогичная ситуация, когда девятки расположены на нечётных местах последовательности, соответствующей выбранному элементу $x\in [0, 1].$

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 21:44 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Evgenii2012 в сообщении #1014617 писал(а):
Если последовательность $x=0,x_1x_2\ldots x_{2n-1}9x_{2n+1}9x_{2n+3}9x_{2n+5}\ldots,$ где $n\geqslant 2,$то полагаем $f(x)=(1; 0, \underbrace{9\ldots 9}\limits_{2n-2}x_{2n-2}x_1x_2x_3\ldots x_{2n-3}x_{2n-1}x_{2n+1}\ldots)$ . Здесь стоит заметить, что $x_{2n-2}\ne 9$ по определению ! Далее, есть ещё точки вида $x=0,x_19x_39x_59\ldots$ . Возможны два случая: 1) $x_1\ne 9,$ тогда положим $f(x)=(1; x_1x_3x_5\ldots).$ 2) $x_1=9,$ тогда положим $f(x)=(1; 0, \underbrace{9\ldots 9}\limits_{2n-1}x_{2n+1}x_{2n+3}\ldots)$ , где $n$ соответствует наименьшему элементу $x_{2n+1},$ который отличен от числа 9.


Я не понимаю. Определите, пожалуйста, $n$ как функцию от $0,x_1x_2x_3\dots$. Затем определите правила преобразования для всех значений $n$.

Как возможный вариант, я предлагаю определить так: $n = min\{m: \forall k \in \mathbb{N} x_{m+2k-2} = 9 \}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 21:47 


09/11/12
233
Донецк
Я боюсь, строгие определения ничего нового не дадут, а только больше могут запутать - с чем связаны Ваши сомнения ?

-- 13.05.2015, 20:53 --

Лучше напишите, что конкретно непонятно - я постараюсь ответить. Я бы даже сказал, что $n=\min\{s\in {\Bbb N}: x_{2k}=9\,\, \forall\, k\geqslant s\}$

-- 13.05.2015, 20:54 --

Всё остальное и так уже достаточно строго - в чём проблема ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ну мне вроде бы понятно и кажется правильно. По крайней мере идейных проколов пока не вижу.
Сейчас попробую своими словами коротко описать идею для slavav -- я вижу, что мы с ним разные проколы находим, может и здесь он заметит чего-то, что я пропускаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 22:12 


09/11/12
233
Донецк
Большое спасибо за Ваше мнение ! Пишите свои замечания, интересно

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Evgenii2012
Последите и Вы за моими руками -- насколько я правильно понял идейный ход вещей.

Значится так (я буду идти с конца):
Берём для $x=0,x_19x_39x_59\ldots$ с $x_1\ne 9,$ отображение $f(x)=(1; x_1x_3x_5\ldots).$
Таким образом мы закрываем в стороне квадрата интервал по второй координате $[0;9)$. Это самый большой кусок.
Оставшиеся 10% стороны квадрата мы закрываем двумя функциями, строго разделяя их между собой чётностью / нечётностью количества ведущих девяток. На стороне квадрате они не пересекаются. Описание функций дублировать уже не буду.

Значит, сторону квадрата закрыли всю. И не похоже, что из разных точек отрезка можно было бы попасть в одну точку стороны квадрата. Обосновать это строго тоже не будет проблемой.

Я ничего не упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 22:24 


09/11/12
233
Донецк
Да, всё точно

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 23:34 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Меня интересует как разделены числа по сторонам квадрата? Часть точек отображается в $\{1\} \times [0, 1)$, часть в $[0,1) \times \{1\}$. Какая куда?

Эта и была причина, по которой я попросил определить функцию $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение13.05.2015, 23:46 


09/11/12
233
Донецк
Спасибо за сообщение. Объясняю: в разложении $x=x_1x_2\ldots x_n9x_{n+1}9x_{n+2}9\ldots$ девятки могут стоять на бесконечном числе чётных мест данной записи числа $x$ (такие $x$ отображаются на $\{1\}\times [0, 1]$), так и на бесконечном числе нечётных мест (такие $x$ отображаются на $[0, 1]\times\{1\}$). Вот и всё <<разделение>>. Обратите внимание, что описанная мной процедура отображения на одну из сторон квадрата затрагивает только те $x,$ где девятки стоят на чётных местах. Для другого множества $x$ процедура будет абсолютно аналогичной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group