Диф-уры с постоянными коэффициентами

[Co1l]

Доброго времени суток. Имеется линейное, неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами и его решение:

(Оффтоп)

Вопрос от преподавателя на зачете следующий:
Где мы в решении пользуемся линейностью, неоднородностью и постоянством коэффициентов?

С неоднородностью я разобрался. Мы пользуемся ей при нахождении частного решения, а в остальные св-ва не могу.
Подскажите, будьте добры.

А ну еще один, наверное, глупый вопрос: как вообще связано характеристическое уравнение с общим решением данного диф. уравнения? Формулой пользоваться то научился, а вот сути уловить не могу.

Заранее спасибо.

[svv]

Как бы Вы доказали, что разность двух произвольных решений неоднородного линейного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения?

[Co1l]

$Ly=f, Lz=f; Ly-Lz=f-f=0$, где L - диф. оператор

Как это связано с моими вопросами?

[Dimitrij]

Связь характеристического уравнения с диффуром:
От корней этого уравнения, будет зависеть решение оду. А сама суть идет из теории операторов. Взятие дифференциала, это, по сути, оператор.Я сейчас не буду вдаваться в алгебру (так как это идет именно от туда). Каждый оператор, это ...хм..как бы сказать, какое-то правило действующее на что-то. По сути, я могу его представить матричкой. Для это матрицы, я могу написать характеристический многочлен. Пример: $A$---это матрица оператора. Вообще, в разных базисах она будет выглядеть по разному, а характеристический многочлен($f(\lambda)=|A-\lambda E|=0$) не зависит от базиса. Вот и выходит, что об операторе мы можем судить по его характеристическому многочлену.Я , скорее всего, сильнее вас запутал, но я пытался. Суть в том, что характеристическое уравнение описывает наш оператор. В давнно случает от решения хар-го уравнения зависит решение оду. А постоянство коэффициентов в том, что ты можешь написать это хар-е уравнение. Сам подумай, если коэффициенты, это функции, которые зависят от $x$, то там уже не напишешь хар-е уравнение, сложно. Там уже понижать порядок надо и решать старым способом, забыл, как он там называется. Надеюсь, что я хоть как-то помог.

[svv]

Прямо связано, сейчас будет ясно.
Чуть подробнее напишите, почему из $Ly-Lz=0$ следует, что $y-z$ — решение однородного уравнения. Это тривиально, но сейчас Вы всё поймёте.
Здесь строгое правило — обращаться друг к другу только на «Вы».

[Lia]

Dimitrij
Устное замечание за фамильярность. На форуме принято обращение на "Вы".

Просьба аккуратно расставить пробелы после знаков препинания. И не ставить перед.

[Co1l]

Не совсем понял как записать это подробнее, извиняюсь конечно.

Dimitrij, спасибо Вам за разъяснения :)

[svv]

Просто $L(y-z)=Ly-Lz$ (и дальше, как Вы написали, $=f-f=0$).
Но без линейности это не будет верно. И тогда нахождение общего решения однородного уравнения не имеет никакого смысла.

[Dimitrij]

Co1l, вот вам пример $Ly(x)=f(x)$. Пусть $L=d^2+d$, тогда наша запись примет следующий вид $y''(x)+y'(x)=f(x)$. $d$- это дифференциал.

[Co1l]

А, вот Вы что имеете в виду. В общем случае я понял, спасибо. Но все равно немного недопонимаю, где мы пользуемся линейностью именно в этом примере?

[Dimitrij]

Подставьте вместо функции $y(x)$ функцию $a(x)+b(x)$ и посмотрите,что получится. Должно получиться $L(a+b)=L(a)+L(b)$.

[svv]

Мы нашли общее решение однородного уравнения: $(C_1+C_2x)e^x$.
Мы нашли частное решение неоднородного уравнения: $\frac{x^3}{12}e^x-\frac{x+1}{16}e^{-x}+\frac{1-x}{16}e^{3x}$
Только благодаря линейности мы можем утверждать, что общее решение неоднородного уравнения будет их суммой.

[Co1l]

Ох, спасибо всем большое, разобрался!

[Co1l]

Появился новый вопрос, как доказать то, что это уравнение линейно?
Преподаватель написал "контраргумент", в котором, очевидно, есть ошибка:
$\alpha y_1+\beta y_2=y$
=> $y''-2y'+y=(\alpha+\beta)xe^xsin^2ix$

Тогда при произвольных $\alpha$, $\beta$ линейность не выполняется, то есть получается другое уравнение.

В чем ошибка?

_______________________

upd. Насчет постоянства коэффициентов
Есть уравнение $y''+4y=2\tg x$
Понятно, что постоянство коэффициентов при $y$ и его производных необходимо для нахождения характеристического многочлена. А коэффициент в правой части обязан быть постоянным или нет, и почему?

И как обьяснить то, что это уравнение неоднородно? Я пытался сказать преподавателю, что у нас в левой части должны быть $y$ и его производные, а в правой части функция, зависящая от $x$. На это он ответил, что $y$ тоже зависят от $x$ и почему мы не можем перебросить $2\tg x$ в левую часть и получим, якобы, однородное. Как это объяснить?

[Lia]

Co1l
Преподаватель хочет, чтобы Вы наконец взяли учебник и выучили определения и основные формулировки оттуда, по крайней мере, по этой теме. Не надо заменять учебник форумом.