О мощности множества области значений функции

[alex_dorin]

Существуют ли функции и существуют ли области определения для таких функций, что мощность множества области значения будет строго
больше мощности множества области определения ?

[Sonic86]

Очевидно же

[NSKuber]

Берём область значения $E$, строим отображение, сопоставляющее каждому элементу $E$ его прообраз в области определения $D$. По определению, у разных элементов $E$ не может быть один и тот же прообраз, значит это будет инъекция из $E$ в $D$. Что в точности и означает, что $|E|\leq |D|$.
Но это действительно

Sonic86 в сообщении #1014285 писал(а):

Очевидно же

[Deggial]

NSKuber, замечание за решение простой учебной задачи.
Решение простых учебных задач запрещено правилами форума.

[NSKuber]

Deggial

(Оффтоп)

Прошу прощения
Как-то невольно вырвалось, такая тривиальщина.
Может, потрёте тогда (вдруг ТС ещё не увидел ответ), и попробуем заново?

[alex_dorin]

Вопрос возник из-за замечания А. С. Есенина-Вольпина о возможности отображения одного множества на другое, более мощное без АС.

[ИСН]

Есенин-Вольпин пытался развивать теории, в которых и гораздо более базовые термины имеют альтернативный смысл. Какая уж там "мощность".

[patzer2097]

alex_dorin в сообщении #1014420 писал(а):

Вопрос возник из-за замечания А. С. Есенина-Вольпина о возможности отображения одного множества на другое, более мощное без АС.

А можете привести ссылку на источник?

[mihailm]

(Оффтоп)

Записки из желтого дома)

[alex_dorin]

П. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза М.1969
стр. 261 примечание 1
ссылка переводчика на результат A. Levy

[Kras]

NSKuber в сообщении #1014364 писал(а):

Берём область значения $E$, строим отображение, сопоставляющее каждому элементу $E$ его прообраз в области определения $D$.

если это вообще возможно

[Kras]

А это возможно, только если исходная функция является инъекцией из $D$ в $E$. Непонятно, однако, зачем это всё...

[Xaositect]

NSKuber в сообщении #1014364 писал(а):

Берём область значения $E$, строим отображение, сопоставляющее каждому элементу $E$ его прообраз в области определения

И как мы это делаем без аксиомы выбора?

alex_dorin в сообщении #1014844 писал(а):

П. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза М.1969
стр. 261 примечание 1
ссылка переводчика на результат A. Levy

У Есенина-Вольпина все верно. Без аксиомы выбора существуют два множества $A$ и $B$ такие, что
1) существует инъекция $A\to B$
2) существует сюръекция $A\to B$
3) не существует биекции между $A$ и $B$.

[NSKuber]

Xaositect в сообщении #1014892 писал(а):

И как мы это делаем без аксиомы выбора?

Не знаю, к моменту моего ответа её ещё не запретили

[Xaositect]

NSKuber в сообщении #1014900 писал(а):

Не знаю, к моменту моего ответа её ещё не запретили

Извините, что-то я слишком резко.