О биекции отрезка на квадрат

[Evgenii2012]

Произвольные числа от 0 до 9. Для однозначности можно исключить запись, где есть бесконечная последлвательность девяток, кроме одного числа 1=0,9999...

[slavav]

Ещё одна попытка:
Обозначим $S$ - множество любых десятичных строк.
Обозначим первое отображение $M_1$.
$M_1: [0, 1] \to S $
Обозначим $S_9 = M_1([0, 1])$ - образ отрезка в десятичом представлении.
Замечу, что $S_9 \subset S$.
Должно получиться: $M_1: [0, 1] \leftrightarrow S_9 $.
Первый вопрос: что такое $M_1(1)$?
Второй вопрос: как будет выглядеть операция разрезания в этих терминах?

[demolishka]

Evgenii2012 в сообщении #1013906 писал(а):

Произвольные числа от 0 до 9. Для однозначности можно исключить запись, где есть бесконечная последлвательность девяток, кроме одного числа 1=0,9999...

Что значит произвольные числа. Они должны однозначно определяться по элементу $x$ (и $x$ должен однозначно определяться по ним, раз уж это биекция). Каким образом?

[Evgenii2012]

Не вполне понимаю суть Вашего замечания: числом на отрезке $[0, 1]$ называется бесконечная десятичная дробь вида $0,x_1x_2\ldots ,$ где $x_i=0,1,\ldots, 9$, где запись вида $x=0,x_1x_2\ldots x_n99999999\ldots$ не допускается, кроме числа $0,999\ldots .$ Зачем Вы хотите определять $x_i$ ? - они нам заданы, по определению числа.

Что дальше ?

[slavav]

Они не заданы определением числа. Число определятся аксиоматически, не через свою десятичную запись. По числу можно получить его десятичную запись. Как?

[demolishka]

Тогда ответьте мне - какой последовательности в Вашем соответствии соответствует число $0.2$. И еще раз посмотрите на то, что Вы написали.

Evgenii2012 в сообщении #1013828 писал(а):

точке $A=(0,x_1x_2x_3\ldots; 0,2)$ квадрата $[0,1]\times [0, 1]$ соовтествуют две точки отрезка $[0, 1]$ -- это точка $\alpha=0,x_12x_20x_3\ldots$ и точка $\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$

[Evgenii2012]

Простите, но я могу и не согласиться с таким подходом - имею право на рассмотрение действительных чисел, определённых аксиоматически как бесконечные десятичные дроби (именно так как я и написал выше, и никак иначе !). К сожалению, другие определения действительного числа мне неизвестны (а нужны ли они ?). Если Вам известен другой подход к определнию действительного числа, и Вы в состоянии объяснить мне Вашу идею, я внимательно слушаю Вас.

Пока никакой существенной ошибки в том, что я написал, я, к сожалению, не обнаружил. Числу 0,2 соответствует пара (0,2; 0), вроде так, если не ошибся

[demolishka]

Я говорил про десятичную запись числа $0.2$ какую Вы выбрали?

[Evgenii2012]

И я про десятичную: 0,2=0,200000000... $x_1=2,$ $x_2=0,\ldots, x_n=0,\ldots ,$ $f(0, 2)=(0,x_1x_3x_5\ldots ; 0, x_2x_4x_6\ldots)= (0,2; 0).$ Что не так ?

[slavav]

Другие определения нужны.

Ну хорошо. Давайте определим вещественные числа как бесконечные последовательности цифр. Надо исключить последовательности, у которых хвост из девяток.

Как вы представляете единицу в этой нотации?

[demolishka]

Хорошо, а почему

Evgenii2012 в сообщении #1013828 писал(а):

$\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$

переходит в пару $(0.x_1x_2... , 0.2)$?

[slavav]

Потому что $0.1(9) = 0.2$.

[demolishka]

И наплевать на все соглашения

Evgenii2012 в сообщении #1013936 писал(а):

0,2=0,200000000...

[Evgenii2012]

Число 1=0,9999... - единственная бесконечная последовательность девяток, которую мы оставляем. Однако, можно просто положить $f(1)=(1, 1)$ и забыть об этой точке.

-- 12.05.2015, 16:33 --

demolishka в сообщении #1013947 писал(а):

И наплевать на все соглашения

Evgenii2012 в сообщении #1013936 писал(а):

0,2=0,200000000...

Что конкретно Вам не нравится ? О каких соглашениях идёт речь - откройте секрет

[demolishka]

Вы не ответили на мой вопрос.

demolishka в сообщении #1013941 писал(а):

Хорошо, а почему
Evgenii2012 в сообщении #1013828

писал(а):
$\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$
переходит в пару $(0.x_1x_2... , 0.2)$?

Если мы положили

Evgenii2012 в сообщении #1013936 писал(а):

0,2=0,200000000