Преобразование лагранжиана при замене координат и времени.

[Derise]

Доброго времени суток.
Вопрос, собственно, следующий. Нужно показать, что при замене координат и времени (без последнего все более-менее очевидно) уравнения Лагранжа второго рода сохраняют форму (если замена невырожденна).
Почитал различную литературу, и, судя по всему, план таков.
Сделаем замену $\{\overrightarrow{q},t\}\to\{\overrightarrow{q}', t'\}$, напишем выражение для действия по Гамильтону в старых переменных и выразим через новые:

$$ S=\int\limits_{t_1}^{t_2}L(\overrightarrow{q}, \dot{\overrightarrow{q}}, t)dt=\int\limits_{t_1'}^{t_2'}L\left[\overrightarrow{q}(\overrightarrow{q}',t'),\dot{\overrightarrow{q}}(\overrightarrow{q}',\dot{\overrightarrow{q}}',t'),t(\overrightarrow{q}',t')\right]\frac{dt}{dt'}dt' $$

Теперь выберем прямой путь в старых переменных (траектория, удовлетворяющая уравнениям Лагранжа второго рода). Утверждается, что в новых переменных действие по Гамильтону не изменится, так как действие по Гамильтону - один и тот же интеграл, только в разных переменных, поэтому если варьировать выбранный прямой путь, то вариация действия его образа тоже будет равна нулю, поэтому из принципа Гамильтона следует, что образ прямого пути есть прямой путь, а значит, он удовлетворяет уравнениям Лагранжа второго рода, а сам лагранжиан совпадает с выражением, стоящим под знаком интеграла в новых переменных:

$$ L'=L\left[\overrightarrow{q}(\overrightarrow{q}',t'),\dot{\overrightarrow{q}}(\overrightarrow{q}',\dot{\overrightarrow{q}}',t'),t(\overrightarrow{q}',t')\right]\frac{dt}{dt'} $$

Мне не понятно, почему действие по Гамильтону не изменится? Почему мы просто заменили переменные в выражении для действия по Гамильтону, и получили действие по Гамильтону в новых переменных? Мы ведь даже еще не знаем, существует ли в новых переменных лагранжиан. И варьировать, соответственно, мы будем не образ прямого пути, а исходный прямой путь, выраженный в новых переменных. Дальше уже понятно, что если полученное выражение есть действие по Гамильтону, то просто из определения, лагранжиан - подынтегральное выражение.

Если в приведенных рассуждениях нет грубых ошибок, то прошу ответить на поставленные вопросы. Иначе прошу привести учебные материалы, в которых освещен этот вопрос, и, если там нет прямого ответа на мои вопросы, ответить на них.

[Утундрий]

Derise в сообщении #1013377 писал(а):

при замене координат и времени (без последнего все более-менее очевидно) уравнения Лагранжа второго рода сохраняют форму (если замена невырожденна).

Тут правильней было бы сказать вид, а не форму. Функция Лагранжа после преобразования будет другая: не получится просто подставить в старое выражение штрихованное вместо не штрихованного.

А так - выражаем, подставляем, получаем...

[Derise]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1013393 писал(а):

Derise в сообщении #1013377 писал(а):

при замене координат и времени (без последнего все более-менее очевидно) уравнения Лагранжа второго рода сохраняют форму (если замена невырожденна).

Тут правильней было бы сказать вид, а не форму. Функция Лагранжа после преобразования будет другая: не получится просто подставить в старое выражение штрихованное вместо не штрихованного.

А так - выражаем, подставляем, получаем...

Здесь слова форма и вид означают одно и то же. Понятно, что речь идет о ковариантности уравнений. А вообще, подставить в старое выражение штрихованное получится, только все остальное надо тоже "проштриховать".

Я старался изо всех сил передать суть вопроса, но вы, видимо, не поняли, что мой вопрос не связан с трактовкой тех или иных слов в русском языке.

Утундрий в сообщении #1013393 писал(а):

А так - выражаем, подставляем, получаем...

И на том спасибо.

[Утундрий]

Derise в сообщении #1013395 писал(а):

подставить в старое выражение штрихованное получится, только все остальное надо тоже "проштриховать"

Ничего подобного. Ну вот как, например, будет преобразовываться скорость?

[Derise]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1013396 писал(а):

Derise в сообщении #1013395 писал(а):

подставить в старое выражение штрихованное получится, только все остальное надо тоже "проштриховать"

Ничего подобного. Ну вот как, например, будет преобразовываться скорость?

В новых переменных уравнения будут абсолютно таким же, какими они были в старых, только с другим лагранжианом. Если хотите поспорить - пожалуйста, в лс. Но поймите, что мой вопрос связан не с этим, и эта бессмысленная дискуссия на тему "что такое ковариантность" не приблизит меня к прояснению совершенно другого вопроса. Повторюсь - пожалуйста, если хотите что-то сказать не по теме вопроса - в лс. Если это было указание на "грубейшую" ошибку в формулировке, то, хоть вы и не правы, к сведению принял.

[Утундрий]

Derise в сообщении #1013398 писал(а):

В новых координатах уравнение будет абсолютно таким же, каким оно было в старых, только с другим лагранжианом.

Вот именно, что с другим. О чём и была речь.

А почему вы все сообщения прячете в оффтопик?

[Derise]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1013401 писал(а):

Derise в сообщении #1013398 писал(а):

В новых координатах уравнение будет абсолютно таким же, каким оно было в старых, только с другим лагранжианом.

Вот именно, что с другим. О чём и была речь.

А почему вы все сообщения прячете в оффтопик?

Никто и не спорит, что с другим. Вам не понравилось слово "вид", а я лишь отметил, что мое "вид" и ваше "форма" - суть ковариантность уравнений Лагранжа второго рода, и понятно, что об инвариантности речь не идет. Потом вы не поняли мое слово "проштриховать", и снова придрались.

Оффтопик потому, что не увидел в ваших комментариях ответов на мои вопросы.

[Утундрий]

Derise в сообщении #1013404 писал(а):

не увидел в ваших комментариях ответов на мои вопросы.

Мда? Ну, пока. Всего вам наилучшего.

[Derise]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1013407 писал(а):

Derise в сообщении #1013404 писал(а):

не увидел в ваших комментариях ответов на мои вопросы.

Мда? Ну, пока. Всего вам наилучшего.

Спасибо. И вам того же.

[Oleg Zubelevich]

ну надо просто написать уравнения Лагранжа для одного функционала действия и для другого и убедиься, что одни уравнения получаются из других указанной заменой переменной. В дифференциаальных уравнениях замену сделать

[Derise]

Oleg Zubelevich в сообщении #1013433 писал(а):

ну надо просто написать уравнения Лагранжа для одного функционала действия и для другого и убедиься, что одни уравнения получаются из других указанной заменой переменной. В дифференциаальных уравнениях замену сделать

Не совсем понял. В старых переменных

$$ \frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=0 $$

Теперь вы предлагаете написать эти уравнения в новых переменных с новой функцией Лагранжа? Но я же не знаю, какую форму имеют уравнения Лагранжа в новой системе, так как это вопрос задачи.

[Oleg Zubelevich]

Derise в сообщении #1013492 писал(а):

Теперь вы предлагаете написать эти уравнения в новых переменных с новой функцией Лагранжа?

я предлагаю убедиться прямым вычислением, что уравнения с лагранжианом $L'$ получааются в результате замены переменной в уравнениях

Derise в сообщении #1013492 писал(а):

х

$$ \frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=0 $$