Доброго времени суток.
Вопрос, собственно, следующий. Нужно показать, что при замене координат и времени (без последнего все более-менее очевидно) уравнения Лагранжа второго рода сохраняют форму (если замена невырожденна).
Почитал различную литературу, и, судя по всему, план таков.
Сделаем замену
, напишем выражение для действия по Гамильтону в старых переменных и выразим через новые:
![$$
S=\int\limits_{t_1}^{t_2}L(\overrightarrow{q}, \dot{\overrightarrow{q}}, t)dt=\int\limits_{t_1'}^{t_2'}L\left[\overrightarrow{q}(\overrightarrow{q}',t'),\dot{\overrightarrow{q}}(\overrightarrow{q}',\dot{\overrightarrow{q}}',t'),t(\overrightarrow{q}',t')\right]\frac{dt}{dt'}dt'
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/c/8ec80b42e8faf8dc78288d7c8e3032da82.png "$$
S=\int\limits_{t_1}^{t_2}L(\overrightarrow{q}, \dot{\overrightarrow{q}}, t)dt=\int\limits_{t_1'}^{t_2'}L\left[\overrightarrow{q}(\overrightarrow{q}',t'),\dot{\overrightarrow{q}}(\overrightarrow{q}',\dot{\overrightarrow{q}}',t'),t(\overrightarrow{q}',t')\right]\frac{dt}{dt'}dt'
$$")
Теперь выберем прямой путь в старых переменных (траектория, удовлетворяющая уравнениям Лагранжа второго рода). Утверждается, что в новых переменных действие по Гамильтону не изменится, так как действие по Гамильтону - один и тот же интеграл, только в разных переменных, поэтому если варьировать выбранный прямой путь, то вариация действия его образа тоже будет равна нулю, поэтому из принципа Гамильтона следует, что образ прямого пути есть прямой путь, а значит, он удовлетворяет уравнениям Лагранжа второго рода, а сам лагранжиан совпадает с выражением, стоящим под знаком интеграла в новых переменных:
![$$
L'=L\left[\overrightarrow{q}(\overrightarrow{q}',t'),\dot{\overrightarrow{q}}(\overrightarrow{q}',\dot{\overrightarrow{q}}',t'),t(\overrightarrow{q}',t')\right]\frac{dt}{dt'}
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/5/7057843f323924e477b825e13ebc119b82.png "$$
L'=L\left[\overrightarrow{q}(\overrightarrow{q}',t'),\dot{\overrightarrow{q}}(\overrightarrow{q}',\dot{\overrightarrow{q}}',t'),t(\overrightarrow{q}',t')\right]\frac{dt}{dt'}
$$")
Мне не понятно, почему действие по Гамильтону не изменится? Почему мы просто заменили переменные в выражении для действия по Гамильтону, и получили действие по Гамильтону в новых переменных? Мы ведь даже еще не знаем, существует ли в новых переменных лагранжиан. И варьировать, соответственно, мы будем не образ прямого пути, а исходный прямой путь, выраженный в новых переменных. Дальше уже понятно, что если полученное выражение есть действие по Гамильтону, то просто из определения, лагранжиан - подынтегральное выражение.
Если в приведенных рассуждениях нет грубых ошибок, то прошу ответить на поставленные вопросы. Иначе прошу привести учебные материалы, в которых освещен этот вопрос, и, если там нет прямого ответа на мои вопросы, ответить на них.
получааются в результате замены переменной в уравнениях