Функциональный ряд

[kerz-3-06]

появился еще один вопрос по задаче. Мы доказали, что ряд сходится равномерно на лучах [a,+\infty) при a>1. А как определить есть ли равномерная сходимость на (1,+\infty) ?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

А как определить есть ли равномерная сходимость на (1,+\infty)

Равномерной сходимости нет - проверьте отрицание Критерия Коши.

[kerz-3-06]

а можно тут поподробнее?!

я проверял, но как-то ни к чему разумному не пришел..

[Gordmit]

Попробуйте сначала для интервала, скажем, $(1,2)$.
Воспользуйтесь тем, что при достаточно больших $n$ $\cos\frac{x}{n}\geqslant \frac12$ (то, о чем писал уже AD); возьмите в отрицании критерия Коши для произвольного $N$ $n=N$, $m=2N$ и тогда станет ясно, каким надо выбрать соответствующее $x$, при котором будет выполняться неравенство $\sum\limits_{n+1}^m>\varepsilon$.

В общем, модификация стандартной проверки отрицания критерия Коши для гармонического ряда.

[kerz-3-06]

x, очевидно, надо брать близким к 1. только вот как получить, что при таких x наша сумма больше $\epsilon$

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

x, очевидно, надо брать близким к 1. только вот как получить, что при таких x наша сумма больше $\epsilon$

Это следует из непрерывности по х любой конечной суммы членов рассматриваемого ряда.

[kerz-3-06]

а можно тут все-таки поподробнее?! а то слабо понятнО.

[Brukvalub]

Используйте следующее соображение: если функция непрерывна в точке а, то в близких к а точках она принимает значения, заведомо бОльшие, чем 0.5а.

[kerz-3-06]

ок, этот путь решения примерно ясен. а через отрицание критерия Коши задача решается?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

ок, этот путь решения примерно ясен. а через отрицание критерия Коши задача решается?!

Оценил Вашу шутку.
Еще семь (7) сообщений назад я писал Вам:

Brukvalub писал(а):

Равномерной сходимости нет - проверьте отрицание Критерия Коши.

[kerz-3-06]

Да, я старался. Я видел тот пост.
Прост хотелось бы узнать подробнее решение через отрицание Критерия Коши

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Прост хотелось бы узнать подробнее решение через отрицание Критерия Коши

Для начала, сформулируйте здесь отрицание критерия Коши для исследуемого ряда и отрицание критерия Коши для гармонического ряда.

[kerz-3-06]

мм... У нас должен быть такой $\epsilon$, для которого какая-то конечная сумма членов ряда была больше $\epsilon$ - это без обозначений, но суть, думаю, ясна.

Добавлено спустя 9 минут 23 секунды:

Gordmit писал(а):

возьмите в отрицании критерия Коши для произвольного $N$ $n=N$, $m=2N$

Возьмем. Тогда мы получим, что эта сумма больше 1/2(\sum\limits \frac {1} {n+1}$$). сумма от N+1 до 2N. А вот что дальше?! дальше я так понимаю нам надо понять больше чего эта сумма?!

P.S. это все так, если мы берем x близким к 1.

Добавлено спустя 13 минут 14 секунд:

Хотя нет, ведь мы же, наверно, не можем просто отбрасывать степень n, даже если она стремится к 1?!

[Henrylee]

kerz-3-06 писал(а):

Хотя нет, ведь мы же, наверно, не можем просто отбрасывать степень n, даже если она стремится к 1?!

ПРосто отбросить не можем. Подбирайте $x=1+f(N)$.

[kerz-3-06]

то есть мы берем x не близкое к 1?!