Дифференциал отображения многообразий

[Metford]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться с понятием дифференциала отображения многообразий и связанными с ним понятиями. Вопросов много, а спросить не у кого...

1. Инъективность дифференциала как отображения касательных пространств многообразий $M_1, M_2$ нужно понимать так, что различным касательным векторам в $T_PM_1$ ставятся в соответствие различные касательные векторы в $T_{f(P)}M_2$?
2. Сюръективность дифференциала нужно понимать, что у каждого касательного вектора в $T_{f(P)}M_2$ найдётся прообраз в соответствующем касательном пространстве $T_PM_1$?
3. Пусть есть гладкое отображение, связывающее одномерные многообразия. Верно ли, что его дифференциал всюду инъективен?
4. В "Современных методах теории поля" Сарданашвили приведён пример сюръективного отображения, не являющегося субмерсией: $\mathbb{R}\to\mathbb{R}, z'=z^3-z$. Видимо, имеется в виду, что дифференциал не сюръективен. Но почему это так?
5. Правильно я понимаю, что нет единообразия в определении иммерсии? Открываю "Современные методы теории поля" Сарданашвили. Там иммерсией названо отображение с инъективным дифференциалом в каждой точке. Чтобы иммерсия стала погружением требуется ещё и инъективность самого отображения. Открываю "Современные геометрические структуры и поля" Новикова и Тайманова и вижу, что они не различают иммерсию и погружение, называя так отображение с инъективным всюду дифференциалом. Открываю "Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии" Мищенко и Фоменко. Там иммерсии вообще нет, а погружение определяется как отображение, дифференциал которого есть взаимно однозначное отображение на свой образ. Т.е. если я правильно понимаю, то тут ещё и сюръективность дифференциала требуется. Какой же вариант принять в конечном счёте?

Заранее спасибо!

[arseniiv]

Metford в сообщении #1010960 писал(а):

1. Инъективность дифференциала как отображения касательных пространств многообразий $M_1, M_2$ нужно понимать так, что различным касательным векторам в $T_PM_1$ ставятся в соответствие различные касательные векторы в $T_{f(P)}M_2$?
2. Сюръективность дифференциала нужно понимать, что у каждого касательного вектора в $T_{f(P)}M_2$ найдётся прообраз в соответствующем касательном пространстве $T_PM_1$?

Не вижу причин, чтобы трактовка инъективности и сюръективности функции в случае, если эта функция — дифференциал, была иной. (Про остальное не скажу, не разбираюсь.)

[VanD]

Metford в сообщении #1010960 писал(а):

1. Инъективность дифференциала как отображения касательных пространств многообразий $M_1, M_2$ нужно понимать так, что различным касательным векторам в $T_PM_1$ ставятся в соответствие различные касательные векторы в $T_{f(P)}M_2$?
2. Сюръективность дифференциала нужно понимать, что у каждого касательного вектора в $T_{f(P)}M_2$ найдётся прообраз в соответствующем касательном пространстве $T_PM_1$?

Это да. Иногда их называют мономорфностью и эпиморфностью соответственно, чтобы подчеркнуть, что дифференциал -- это оператор на линейных пространствах.

Metford в сообщении #1010960 писал(а):

3. Пусть есть гладкое отображение, связывающее одномерные многообразия. Верно ли, что его дифференциал всюду инъективен?

Пусть отображение $y = x^3$. Его дифференциал имеет вид $3x^2 \mathrm{d}x$ -- он в $x = 0$ всё касательное пространство сбрасывает в нулевой вектор. Какая уж тут инъективность.

arseniiv в сообщении #1011013 писал(а):

4. В "Современных методах теории поля" Сарданашвили приведён пример сюръективного отображения, не являющегося субмерсией: $\mathbb{R}\to\mathbb{R}, z'=z^3-z$. Видимо, имеется в виду, что дифференциал не сюръективен. Но почему это так?

Его дифференциал в некоторой точке прообраза плохо действует - тоже всё в нулевой вектор. Значит не субмерсия.

Metford в сообщении #1010960 писал(а):

5. Правильно я понимаю, что нет единообразия в определении иммерсии? Открываю "Современные методы теории поля" Сарданашвили. Там иммерсией названо отображение с инъективным дифференциалом в каждой точке. Чтобы иммерсия стала погружением требуется ещё и инъективность самого отображения. Открываю "Современные геометрические структуры и поля" Новикова и Тайманова и вижу, что они не различают иммерсию и погружение, называя так отображение с инъективным всюду дифференциалом. Открываю "Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии" Мищенко и Фоменко. Там иммерсии вообще нет, а погружение определяется как отображение, дифференциал которого есть взаимно однозначное отображение на свой образ. Т.е. если я правильно понимаю, то тут ещё и сюръективность дифференциала требуется. Какой же вариант принять в конечном счёте?

Определения погружения у Новикова, Тайманова и у Мищенко, Фоменко - эквивалентны. Сюръективность дифференциала у Мищенко, Фоменко не требуется. Взаимная однозначность же с образом, а образ по определению - это множество из тех касательных векторов, в которые кто-то перешёл.
А так да - в литературе иногда встречается и так и этак.

[Metford]

VanD в сообщении #1011090 писал(а):

Пусть отображение $y = x^3$.

Вот мне как раз такого примера не хватало, сам почему-то не додумался. Спасибо!
С субмерсией теперь тоже вроде понятно.

А есть тогда (чисто гипотетически) пример, когда дифференциал отображает касательное пространство $T_PM_1$ не в один вектор, но и не на всё касательное пространство $T_{f(P)}M_2$ (т.е. субмерсией отображение не будет, а иммерсией может быть)? Вопрос связан с тем, что в обоих примерах - к п. 3 и п. 4 - дифференциал отображал всё касательное пространство в один вектор, но в одном случае это было плохо по одной причине, а во втором - по другой.

VanD в сообщении #1011090 писал(а):

Взаимная однозначность же с образом, а образ по определению - это множество из тех касательных векторов, в которые кто-то перешёл.

Да, это меня в заблуждение ввёл предлог "на". Образ, действительно, не обязан совпадать со всем касательным пространством, в которое происходит отображение.

VanD в сообщении #1011090 писал(а):

А так да - в литературе иногда встречается и так и этак.

Т.е. каждый раз оговаривается, в каком смысле автор использует термин? Какой вариант используется чаще? По тому, что я увидел в нескольких книгах (я ещё "Лекции по классической дифференциальной геометрии" Иванова и Тужилина не упомянул), иммерсию и погружение в основном не разделяют.

И заодно ещё спрошу о вложении. Например, отображение отрезка в плоскость $\mathbb{R}^2$, образ которого - восьмёрка, не является вложением, но является погружением. Как строго обосновать, что это не вложение? Тем, что нет как раз взаимной однозначности с образом отображения?

[VanD]

Metford в сообщении #1011183 писал(а):

А есть тогда (чисто гипотетически) пример, когда дифференциал отображает касательное пространство $T_PM_1$ не в один вектор, но и не на всё касательное пространство $T_{f(P)}M_2$ (т.е. субмерсией отображение не будет, а иммерсией может быть)?

Есть такие отображения. Могут быть и иммерсиями, но не субмерсиями и ни тем, ни тем, но образ в какой-нибудь точке не нулевое линейное пространство. Только это всё для размерностей выше $1$, так как для неё в силу совпадения размерностей линейных пространств, на которых действует дифференциал, работает теорема из линала (теорема о гомоморфизме для линейных пространств), о том, что если размерности совпадают, то мономорфизм, эпиморфизм и изоморфизм -- одно и то же. А так, например, вложения - они погружения, но не субмерсии в общем случае. Можно и пример в духе $f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, заданное в координатах $x' = x, y' = y^3$. В точках, где $y = 0$ дифференциал перестаёт быть мономорфизмом и эпиморфизмом, но образ при этом не нулевое подпространство.

Metford в сообщении #1011183 писал(а):

И заодно ещё спрошу о вложении. Например, отображение отрезка в плоскость $\mathbb{R}^2$, образ которого - восьмёрка, не является вложением, но является погружением. Как строго обосновать, что это не вложение? Тем, что нет как раз взаимной однозначности с образом отображения?

В неоднозначности и не только. Образ вложения - всегда подмногообразие, а восьмёрка не является таковым, так как у неё есть плохая точка. Индуцированная топология в окрестности этой точки ведёт себя не как топология $\mathbb{R}$. На эту тему очень советую глянуть, что такое иррациональная обмотка тора. Гомеоморфность с образом (в индуцированной топологии) -- это важно. Так что не только неоднозначность может стать проблемой при попытке обозвать погружение вложением.

[Metford]

VanD в сообщении #1011195 писал(а):

Так что не только неоднозначность может стать проблемой при попытке обозвать погружение вложением.

Я понимал, что неоднозначность - видимо, не единственное препятствие, но с формулировкой затруднялся. Теперь стало понятнее.

Про иррациональную обмотку тора я посмотрел. Раньше она мне тоже на глаза попадалась, но с такой стороны я на неё не смотрел. Вообще, фигуры Лиссажу напомнило.

Дальше буду пока сам разбираться.
VanD, спасибо за исчерпывающие ответы!