Неограниченная недомера

[g______d]

Я вот что-то тоже туплю. Возьмём неглавный ультрафильтр над $\mathbb N$. На элементах ультрафильтра зададим функцию вообще как угодно, а на остальных подмножествах пусть нуль.

Условие выполняется, потому что если $A\cap B=\varnothing$, то $A$ и $B$ сразу оба не могут принадлежать ультрафильтру.

[AGu]

sup в сообщении #1010832 писал(а):

Или тут какой-то подвох?

Никакого подвоха. Поздравляю. Это и есть одно из самых простых в мире решений. Проще может быть, разве что, рассмотрение лишь конечнозначных последовательностей вместо всех ограниченных (но это сомнительное упрощение) или немедленное расширение множества ортов до базиса Гамеля (с последующим определением функционала на этом базисе) вместо продолжения невсюду определенного функционала. Но это все лирика, не меняющая суть идеи. Спасибо.

P.S. Кажется, у меня в загашнике была еще одна задачка на близкую тему — более хитрая. Если вспомню, подкину прямо сюда.

-- 2015.05.03 22:07 --

g______d в сообщении #1010838 писал(а):

На элементах ультрафильтра зададим функцию вообще как угодно, а на остальных подмножествах пусть нуль.

Пусть $U$ — наш ультрафильтр, $A,\bar A\in U$, $A\subset\bar A$. Положим $B:=\bar A\backslash A$. Ясно, что $A\cap B=\varnothing$ и $B\notin U$, а значит, $f(\bar A)=f(A\cup B)=f(A)+f(B)=f(A)$. Выходит, не совсем «как угодно».

[g______d]

Да, похоже, так вообще не получится. Поскольку пересечение двух множеств из ультрафильтра тоже принадлежит ультрафильтру, такими же рассуждениями можно показать, что на ультрафильтре функция будет просто константой.

[sup]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1010840 писал(а):

Никакого подвоха. Поздравляю.

Спасибо. А то я раз пять себя перепроверил. Ну, думаю, сейчас вот ляпну, а меня тут же выведут на чистую воду.

[AGu]

g______d в сообщении #1010860 писал(а):

на ультрафильтре функция будет просто константой

Совершенно верно.

Я вспомнил вторую задачу. Она как раз на связь между рассматриваемыми выше ограниченными аддитивными функциями на $\mathcal P(\mathbb N)$ и ограниченными линейными функционалами. Задача не шибко хитрая, но, как мне кажется, приятная.

Пусть $X$ — нормированное подпространство $\ell^\infty$, состоящее из всех конечнозначных последовательностей (т.е. последовательностей с конечным образом), пусть $f$ — линейный функционал на $X$ и пусть существует такая константа $C$, что $\bigl|f\bigl(\chi\strut_{\!A}\bigr)\bigr|\leqslant C$ для всех $A\subseteq\mathbb N$. Следует ли отсюда ограниченность функционала $f$ ?

[NSKuber]

Пусть $x\in X$ и образ $x$, упорядоченный в порядке возрастания - $\{x_1,x_2,...,x_n\}$. Существуют $A_1,A_2,...,A_n\subseteq\mathbb{N}$ такие, что $x=x_1\chi_{A_1}+(x_2-x_1)\chi_{A_2}+(x_3-x_2)\chi_{A_3}...+(x_n-x_{n-1})\chi_{A_n}$. Тогда
$\frac{\|f(x)\|}{\|x\|}=\frac{\|x_1f(\chi_{A_1})+...+(x_n-x_{n-1})f(\chi_{A_n})\|}{\|x\|}\leqslant \frac{C(|x_1|+|x_2-x_1|+...+|x_n-x_{n-1}|)}{\|x\|}=\frac{C(|x_1|+x_n-x_1)}{\|x\|}\leqslant 3C$

[AGu]

NSKuber, круто! Мне так понравилось Ваше решение, что я уже не хочу выписывать свое.