Порождающий набор векторов

[Pretty Kitty]

В процессе решения одной задачи пришел к следующей. Буду благодарен, если кто-нибудь подскажет как ее решать. У меня есть набор векторов в n-мерном векторном пространстве, стандартный базис, и для любого подмножества индексов в наборе есть такой вектор, у которого координаты с соответствующими номерами больше некоторого положительного числа r, а остальные меньше (все больше нуля). Правда ли, что этот набор будет гарантировано порождать все векторное пространство?

[B@R5uk]

Для любого подмножества (не пустого?) набора означает, в частности, для любого вектора из набора выполняется некое утверждение. Вы пишите, что это утверждение заключается в некоторых неравенствах между координатами вектора и некоторого числа. Что вы подразумеваете под выделенным словом:

Pretty Kitty в сообщении #1010372 писал(а):

...у которого координаты с соответствующими номерами...

[Pretty Kitty]

B@R5uk в сообщении #1010395 писал(а):

Для любого подмножества (не пустого?) набора означает, в частности, для любого вектора из набора выполняется некое утверждение. Вы пишите, что это утверждение заключается в некоторых неравенствах между координатами вектора и некоторого числа. Что вы подразумеваете под выделенным словом:

Pretty Kitty в сообщении #1010372 писал(а):

...у которого координаты с соответствующими номерами...

Я имел в виду, что могу зафиксировать какие-то оси и потребовать, чтобы координаты по этим осям были больше r, а по остальным меньше r

[B@R5uk]

Тогда не совсем понятно, что вам жёстко задано, а что вы можете произвольно менять.

Вообще, набор векторов порождает всё векторное пространство, если число линейно независимых векторов в этом наборе равно размерности пространства.

[Pretty Kitty]

B@R5uk в сообщении #1010400 писал(а):

Тогда не совсем понятно, что вам жёстко задано, а что вы можете произвольно менять.

Вообще, набор векторов порождает всё векторное пространство, если число линейно независимых векторов в этом наборе равно размерности пространства.

Жестко фиксирован набор векторов, в котором есть вектора обладающие указанным свойством.

B@R5uk в сообщении #1010400 писал(а):

Вообще, набор векторов порождает всё векторное пространство, если число линейно независимых векторов в этом наборе равно размерности пространства.

Да, я знаю

[B@R5uk]

Совершенно не понятно в чём это указанное свойство заключается.

Попробую угадать. Набор векторов обладает тем свойством, что найдётся такой базис, что для этого базиса в наборе найдутся такие $n$ векторов (где $n$ — размерность пространства), что $k$-я координата $k$-го вектора больше числа $r$, а все остальные координаты — меньше этого числа, но больше нуля. Тогда вопрос сводится к доказательству того, что квадратная матрица с положительными элементами, в которой элементы главной диагонали больше числа $r$, а все остальные — меньше, имеет ранг равный $n$.

Я правильно уловил суть вопроса?

[Pretty Kitty]

B@R5uk в сообщении #1010406 писал(а):

Я правильно уловил суть вопроса?

Да, задача сводится к этой про матрицу. Если быть точнее, то я могу решать, где у матрицы больше 1, а где меньше 1 числа, и надо так их расставить, чтобы определитель был гарантировано ненулевой

-- 02.05.2015, 17:22 --

Я тут подумал, задача не сводится к задаче про матрицу, трехмерный случай говорит, что придется воспользоваться всеми векторами

[ewert]

Pretty Kitty в сообщении #1010410 писал(а):

Да, задача сводится к этой про матрицу.

Тогда достаточно считать, что у этой матрицы на диагонали стоят единицы, а вне диагонали -- положительные числа, меньшие единицы. Легко придумать пример такой матрицы, у которой определитель меньше нуля. Но тогда существует и такая, у которой определитель равен нулю.

[Pretty Kitty]

ewert в сообщении #1010456 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #1010410 писал(а):

Да, задача сводится к этой про матрицу.

Тогда достаточно считать, что у этой матрицы на диагонали стоят единицы, а вне диагонали -- положительные числа, меньшие единицы. Легко придумать пример такой матрицы, у которой определитель меньше нуля. Но тогда существует и такая, у которой определитель равен нулю.

Это было неправильная переформулировка, не могли бы Вы подсказать, почему не существует аффинной гиперплоскости, которая для любого подмножества номеров координат проходит через точку, у которой координаты с выбранными номерами больше 1, а остальные меньше 1

[B@R5uk]

ewert в сообщении #1010456 писал(а):

...у которой определитель меньше нуля. Но тогда существует и такая, у которой определитель равен нулю.

У нас элементы матрицы меняются непрерывно, но не всей числовой прямой. Так что прямо так в лоб не получится воспользоваться непрерывностью определителя матрицы по её элементам, чтобы утверждать, что если существуют два определителя, один из которых больше, а другой меньше нуля, то существует и равный нулю.

Другое дело привести конкретный пример...

[ewert]

B@R5uk в сообщении #1010473 писал(а):

Так что прямо так в лоб не получится воспользоваться непрерывностью определителя матрицы по её элементам,

Не по элементам, а по параметру. Просто проинтерполируйте подходящую матрицу с отрицательным детерминантом и единичную.

[Утундрий]

Pretty Kitty в сообщении #1010410 писал(а):

я могу решать, где у матрицы больше 1, а где меньше 1 числа

Этого, наверное, будет мало. А вот разнести немного не можете? Чтобы, например, больше $2$ и меньше $1$ было. Тогда, может, чего и получится.

[arseniiv]

Pretty Kitty в сообщении #1010457 писал(а):

Это было неправильная переформулировка

(С правильной мы уже справились. )