2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Норма оператора замены переменной в L1
Сообщение02.05.2015, 22:28 
Задан линейный оператор $A:L_1[-1,1] \to L_1[-1,1]$ ,
$Ax(t)=(t^2-2t)x(t^{1/3})$.
Не получается вычислить норму данного оператора.
$\left\lVert Ax\right\rVert=\int\limits_{-1}^{1}\left\lvert(t^2-2t)x(t^{1/3})\right\rvert dt=3\int\limits_{-1}^{1}\left\lvert r^8-2r^5\right\rvert\left\lvert x(r)\right\rvert dr\leqslant 9\left\lVert x\right\rVert$.
Далее оценить норму $Ax$ снизу не получается и подобрать функцию $x(t)$, при которой достигалась бы норма 9 (что вообще сомнительно) не получается.

 
 
 
 Re: Норма оператора замены переменной в L1
Сообщение02.05.2015, 22:37 
Достигается на дельта-функции для левого края.

 
 
 
 Re: Норма оператора замены переменной в L1
Сообщение03.05.2015, 06:35 
Мне кажется, лучше написать так:
Достигается на последовательности ступенчатых функций $f_n(x)=\begin{cases}
1,&\text{если $x\in [-1,-1+\frac{1}{n}]$;}\\
0,&\text{иначе}
\end{cases}$
Так как ни на одной функции из $L_1[-1,1]$ норма действительно не достигается.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group