Эль-один vs эль-бесконечность

[AGu]

Скоро сессия, и я развлекаюсь, подбирая задачки для тренировки перед экзаменом. Надеюсь, они не только простые, но и забавные.

(1) Линейно изометричны ли нормированные пространства $(\mathbb R^2,\|{\cdot}\|_1)$ и $(\mathbb R^2,\|{\cdot}\|_\infty)$ ?
(2) Линейно изометричны ли нормированные пространства $(\mathbb R^3,\|{\cdot}\|_1)$ и $(\mathbb R^3,\|{\cdot}\|_\infty)$ ?
(3) Линейно изометричны ли нормированные пространства $\ell^1$ и $\ell^\infty$ ?

P.S. $\|x\|_1=\sum_i|x(i)|$, $\|x\|_\infty=\sup_i|x(i)|$, $\ell^p=\bigl(\{x\in\mathbb R^{\mathbb N}:\|x\|_p<\infty\},\|{\cdot}\|_p\bigr)$.

[g______d]

1. Да: единичные шары в обоих случаях квадраты.

2. Нет, потому что октаэдр нельзя линейным преобразованием перевести в куб.

3. В случае счётного множества значений $i$ -- одно сепарабельно, другое нет. В случае несчётного множества индексов $i$ (тогда сумма определяется как $\sup$ всех конечных сумм) они будут разной мощности.

[AGu]

g______d, Вы убиваете не только мои задачки, но и мой энтузиазм.
Хоть на несколько секунд-то я успеваю доставить Вам удовольствие?

Тэээкс... Что тут еще придумать-то...
Ну хоть поясните тогда, почему октаэдр не переводится линейно в куб.
(Притворимся, что мы на экзамене. )

[g______d]

Мне понравился первый вопрос, потому что я сначала подумал, что нет. Вообще у Вас хорошие задачи.

Ну... потому что куб обладает таким свойством: это выпуклая оболочка 8 точек, такая что никакая не лежит в выпуклой оболочке остальных 7. Это свойство сохраняется при линейных преобразованиях. Посмотрим на образы этих точек (вершин куба). Они принадлежат октаэдру. Если среди них нет какой-то вершины, то её нет и в образе (потому что не существует отрезка, целиком лежащего в октаэдре, у которого вершина октаэдра внутренняя). Печалька. Значит, среди образов есть все 6 вершин октаэдра. Но тогда оставшиеся 2 точки лежат в выпуклой оболочке этих 6, чего не должно быть из первого предложения. Ну или как-то так.

[AGu]

Ага.
(Ну что ж, давайте вашу зачетку...)