Аффинная плоскость

[Pretty Kitty]

Подскажите как доказать, что не существует такой аффинной гиперплоскости, которая бы для любого подмножества номеров координат, проходила бы через точку, у которой координаты с выбранными номерами больше 1, а остальные меньше 1 и больше 0

[arseniiv]

Получается, она должна пересекать $2^n$ всевозможных областей $A_{i_1}\times\ldots\times A_{i_n}$, где $A_1 = (0; 1)$ и $A_2 = (1; +\infty)$. Так как она содержит по точке из любых двух таких областей, отличающихся в выборе только одного $i_k$, она должна содержать и точку на разделяющей их гиперплоскости — и не одну, а $2^{n-1}\geqslant n$ разных. Покажите, почему, и дальше тоже должно быть видно.

-- Сб май 02, 2015 20:41:38 --

Вы представляли низкие размерности? 1, 2, 3? Если нет, это обязательно надо сделать.

[Pretty Kitty]

arseniiv в сообщении #1010467 писал(а):

Получается, она должна пересекать $2^n$ всевозможных областей $A_{i_1}\times\ldots\times A_{i_n}$, где $A_1 = (0; 1)$ и $A_2 = (1; +\infty)$. Так как она содержит по точке из любых двух таких областей, отличающихся в выборе только одного $i_k$, она должна содержать и точку на разделяющей их гиперплоскости — и не одну, а $2^{n-1}\geqslant n$ разных. Покажите, почему, и дальше тоже должно быть видно.

-- Сб май 02, 2015 20:41:38 --

Вы представляли низкие размерности? 1, 2, 3? Если нет, это обязательно надо сделать.

То есть каждая разделяющая гиперплоскость разделяет $2^{n-1}$ пар указанных областей, с каждой такой частью гиперплоскости наша потенциальная гиперплоскость должна пересекаться, а значит, должна иметь более n точек пересечения, то есть совпадать. Значит, она должна совпадать с различными гиперплоскостями, противоречие?

[arseniiv]

Вопрос вы поставили правильно. В одномерном пространстве противоречия не будет, потому что будет только одна разделяющая гиперплоскость — точка, но тут мы получим противоречие отдельно, потому что координата искомой точки не может быть сразу меньше, больше и равна единице.

-- Сб май 02, 2015 22:05:45 --

А остальное, конечно, да-да-да!

[Pretty Kitty]

arseniiv
Спасибо за помощь