Равенство на четырёх прямых

[arqady]

Для неотрицательных $x$, $y$ и $z$ докажите, что:

$$\sqrt{4x^2+xy+4y^2}+\sqrt{4x^2+xz+4z^2}+\sqrt{4y^2+yz+4z^2}\leq\sqrt{22(x^2+y^2+z^2)+5(xy+xz+yz)}$$

[sergei1961]

Напомнило задачу, которую задавал студентам (она по мотивам первой научной работы Максвелла): рассмотреть обобщения эллипсов, парабол и гипербол с несколькими фокусами, директрисами и тд. Подобные равенства, не неравенства, возникают для квазиэллипса с тремя фокусами и тд. Но это конечно не имеет отношения к теме...

-- 29.04.2015, 11:55 --

Из неравенства для средних получается подобное неравенство, но справа вместо 22 будет 24, а вместо 5 будет 3.
Не дотягивает, а жаль.

Получается верно для наборов констант справа (22,5) и (24,3). Интересно для каких ещё наборов вида (a,27-a) неравенство верно. Ваш набор такого вида , наверное, оптимальный?

Прошу подсказки: это замаскированное неравенство треугольника, сумма трёх сторон в четырёхугольнике меньше четвёртой стороны?

[arqady]

Я это доказал Коши-Буняковским.

[sergei1961]

Если тупо применить К-Б к векторам из единиц и из корней, то опять получается неравенство, про которое я упоминал с постоянными 24 перед суммой квадратов и 3 перед суммой произведений. Не тупо-не вижу, сдаюсь.

[sergei1961]

Не подскажите?

[arqady]

Пусть $k\geq0$.
Коши-Буняковский даёт $\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{4x^2+xy+4y^2}\right)^2\leq\sum\limits_{cyc}\frac{4x^2+xy+4y^2}{x+y+kz}\sum\limits_{cyc}(x+y+kz)$.
Подберите теперь $k$ так, чтобы $\sum\limits_{cyc}\frac{4x^2+xy+4y^2}{x+y+kz}\sum\limits_{cyc}(x+y+kz)\leq\sum\limits_{cyc}(22x^2+5xy)$ было верно.
Советую посмотреть, когда достигается равенство в исходном неравенстве.

[Deggial]

sergei1961 в сообщении #1009162 писал(а):

(22,5) и (24,3). Интересно для каких ещё наборов вида (a,27-a)

sergei1961, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[sergei1961]

$k=0$ не проходит, додуматься далее не могу. Подскажите? Идея-домножить в К-Б произведение и разделить- очень полезная. Она началась наверное с неравенства Милна, сам когда-то использовал этот метод в работах.

Про равенство-тогда выписанные слева слагаемые должны быть пропорциональны, вроде невозможно? Понимаю, что-то не додумываю.

[arqady]

Равенство достигается ещё в точке $(1,1,0)$.

[sergei1961]

То есть верно при $k=0$? У меня вроде не получалось...

[arqady]

Только при $k=\frac{1}{3}$.

[5am50n]

А как доказать последнее неравенство при $k=\frac{1}{3}$?

[arqady]

Оно скорее всего тривиально после умножения обеих частей на общий знаменатель, раскрытия скобок и приведения подобных членов.
Из практических соображений лучше, по-моему, использовать uvw.