Помогите с тензорами, пожалуйста.

[Sc4reCr0w]

Здравствуйте. Я самостоятельно пробую изучать математику (за плечами ВТУЗ). И начал с "Современной геометрии", Дубровин, Новиков. А чтобы она легче читалась взялся ещё и за это пособие: "Тензорное исчисление для «чайников», С. Гаврилов. Вопрос именно по этому пособию.

1) В пособии есть такое утверждение: "Контравариантный вектор принято изображать матрицей-столбцом. Ковариантный – матрицей-строкой." Далее встречается следующее равенство:
$x^ix^k=X^{ik}=\begin{bmatrix}x^1x^1 & x^2x^1 & x^3x^1 \\x^1x^2 & x^2x^2 & x^3x^2 \\x^1x^3 & x^2x^3 & x^3x^3 \end{bmatrix}​$
То есть в получившемся дважды контравариантном тензоре $X^{ik}$ индекс $i$ пробегает по столбцам, а индекс $k$ - по строкам. Это так?

2) Если
X^{ik}=\begin{bmatrix}x^1x^1 & x^2x^1 & x^3x^1 \\x^1x^2 & x^2x^2 & x^3x^2 \\x^1x^3 & x^2x^3 & x^3x^3 \end{bmatrix}​$
выглядит так, то сопряжённый тензор будет выглядеть так
X_{ik}=\begin{bmatrix}x^1x^1 & x^1x^2 & x^1x^3 \\x^2x^1 & x^2x^2 & x^2x^3 \\x^3x^1 & x^3x^2 & x^3x^3 \end{bmatrix}​$
Правильно ли я записал его?

[Утундрий]

С. Гаврилова не читал, но осуждаю. Замените второй $x$, ну хотя бы на $y$. Станет всё тогда намного проще!

[Munin]

Принято вообще двухиндексную величину записывать так, чтобы первый индекс нумеровал строки, а второй - столбцы. То есть, всегда по шаблону типа

$$\begin{pmatrix}x^1y^1 & x^1y^2 & x^1y^3 \\x^2y^1 & x^2y^2 & x^2y^3 \\x^3y^1 & x^3y^2 & x^3y^3 \end{pmatrix}\qquad\textit{или}\qquad\begin{pmatrix}X^1^1 & X^1^2 & X^1^3 \\X^2^1 & X^2^2 & X^2^3 \\X^3^1 & X^3^2 & X^3^3 \end{pmatrix}.$$

Попытки ввести какие-то свои правила - обычно ни к чему хорошему не приводят, хотя какой-то автор учебника может в рамках своего учебника установить особые правила, которые удобны лично ему. Но это локальный "бзик".

Например: пусть мы изображаем все контравариантные индексы "стоя по вертикали", а ковариантные - "лёжа по горизонтали". Тогда мы получаем, например:

$$X^{ik}=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}X^{11}\\X^{12}\\X^{13}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}X^{21}\\X^{22}\\X^{23}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}X^{31}\\X^{32}\\X^{33}\end{pmatrix}\end{pmatrix}$$

$$X_{ik}=\Bigl(\begin{matrix}\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&X_{13}\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}X_{21}&X_{22}&X_{23}\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}X_{31}&X_{32}&X_{33}\end{pmatrix}\end{matrix}\Bigr)$$

$$X^i{}_k=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}X^1{}_1&X^1{}_2&X^1{}_3\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}X^2{}_1&X^2{}_2&X^2{}_3\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}X^3{}_1&X^3{}_2&X^3{}_3\end{pmatrix}\end{pmatrix}$$

$$X_i{}^k=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}X_1{}^1\\X_1{}^2\\X_1{}^3\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}X_2{}^1\\X_2{}^2\\X_2{}^3\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}X_3{}^1\\X_3{}^2\\X_3{}^3\end{pmatrix}\end{pmatrix}$$

Надеюсь, ясно, что возиться с такими обозначениями неудобно.

[Brukvalub]

Как-то неудачно вы книги для самообразования выбрали. Вы бы лучше открыли здесь тему : "на данный момент знаю вот столько, хочу самостоятельно изучить то и это, что посоветуете почитать? Вам бы помогли найти адекватные вашим целям учебники.

[Sc4reCr0w]

Спасибо за ответы.

Утундрий в сообщении #1008268 писал(а):

С. Гаврилова не читал, но осуждаю. Замените второй $x$, ну хотя бы на $y$. Станет всё тогда намного проще!

Это была запись автора пособия.

Munin в сообщении #1008271 писал(а):

Принято вообще двухиндексную величину записывать так, чтобы первый индекс нумеровал строки, а второй - столбцы.

Понял, спасибо.
Хочу уточнить: в приведённом Вами примере, например

$$X^{ik}=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}X^{11}\\X^{12}\\X^{13}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}X^{21}\\X^{22}\\X^{23}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}X^{31}\\X^{32}\\X^{33}\end{pmatrix}\end{pmatrix}$$

внутренними скобками выделены векторы, входящие в тензор?
А представлять в уме тензор 2-го ранга в таком неудобном виде будет математически неправильно?

[Munin]

Sc4reCr0w в сообщении #1008649 писал(а):

А представлять в уме тензор 2-го ранга в таком неудобном виде будет математически неправильно?

Что значит "математически неправильно"? Правильно, правильно. Но возиться с выкладками на бумаге - неудобно.

И вообще, тензоры лучше представлять себе не как наборы чисел, а как геометрические сущности.

Sc4reCr0w в сообщении #1008649 писал(а):

внутренними скобками выделены векторы, входящие в тензор?

Внутренними скобками выделены величины $X^{1k},X^{2k},X^{3k},$ но вот называть ли их векторами - вопрос отдельный. С точки зрения свойств по отношению к заменам координат, они векторами не являются.

[Sc4reCr0w]

Цитата:

Что значит "математически неправильно"? Правильно, правильно. Но возиться с выкладками на бумаге - неудобно.

Я и спросил потому, что действия с тензорами мне понятнее, представив их в уме в таком виде.

Цитата:

И вообще, тензоры лучше представлять себе не как наборы чисел, а как геометрические сущности.

Стараюсь так представлять их.

[Munin]

Munin в сообщении #609492 писал(а):

Упражнения:
Верно ли, что $A_{ij}\delta^j_k B^{km}=A_{ij}B^{jm}$?
Какая физическая формула "зашифрована" здесь: $\tfrac{1}{2}\tfrac{\partial}{\partial x^j}B^{[ij]}-\tfrac{\partial}{\partial t}E^i=J^i$?