Колебание тела на пружине

[veez]

Здравствуйте! Есть задача:

Имеется недеформированная пружина жесткости 13 Н/м, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на 1/3 ее длины, укрепили небольшое тело массы 25 г. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.


В найденном решении в самом начале есть немного непонятная для меня вещь: жесткость первой (меньшей части пружины) равна трем жесткостям недеформированной пружины, а большая часть - полутора жесткостям недеформированной пружины. Вопрос заключается в том - почему именно полутора? Подскажите пожалуйста. Думаю мое решение здесь не требуется, я не прошу ее решить, мне нужно узнать только небольшую информацию из начала задачи.

Спасибо.

[Munin]

Рассмотрим пружину длиной $L$ как несколько последовательно соединённых одинаковых пружин длинами $l.$ Для простоты, пусть $L=Nl,$ то есть малых пружин $N$ штук.

Тогда, когда к $L$ прикладывается сила $F,$ то она же прикладывается и к каждой малой пружине. Деформация каждой малой пружины $\Delta l,$ деформация большой $\Delta L=N\,\Delta l.$ Значит, $F=K\,\Delta L=k\,\Delta l,$ и жёсткости большой и малой пружины соотносятся как $K=\dfrac{k}{N}$ (на пальцах - большая пружина "мягче" в $N$ раз, а малые пружины жёстче - это соответствует интуиции из повседневного опыта).

Если же взять $M$ малых пружин, то аналогично жёсткость соответствующей "под-пружины" будет $\dfrac{k}{M}.$

В вашем случае, задана жёсткость большой пружины $K,$ а $k$ надо найти, и поэтому формулы "переворачиваются". Для первой трети $k_{1/3}=3K,$ а для второй части (двух третей) $k_{2/3}=\dfrac{k_{1/3}}{2}=\dfrac{3}{2}K.$

-- 27.04.2015 21:21:42 --

Упражнение на проверку понимания:
Пусть две пружины одинаковой длины, жёсткостями $k_1$ и $k_2,$ соединили "параллельно" (так что левые концы соединены между собой, правые концы соединили между собой, и растягивают и сжимают их вместе). Какова будет жёсткость такой "соединённой" пружины?

[veez]

Munin

$k=k_1+k_2$ ?

[Munin]

Да, правильно :-) Зачёт по теме.

(Кстати, эти правила "последовательного и параллельного соединения пружин" чем-то напоминают правила последовательного и параллельного соединения сопротивлений, индуктивностей, конденсаторов. И в геометрической оптике ещё где-то похожие правила всплывали. Тут достаточно уловить общий принцип: есть такие величины, которые очевидно складываются или не складываются, а есть - такие, которые вычисляются из их отношения.)

-- 28.04.2015 19:14:24 --

(Кстати, если будете проверять экспериментально, тело надо насадить на стержень, иначе оно гораздо легче будет колебаться в поперечном направлении. А вот найти период поперечных колебаний - это уже посложнее задача.)