разложить группу в прямую сумму примарных циклических

[kerz-3-06]

Помогите решить.
Надо разложить группу <a, b, c | 2a-3b+c=0, 7a-4b+2c=0, 2b-4c=0> в прямую сумму примарных циклических и найти второй по максимальности порядок

[Gordmit]

Либо я чего-то не понял, либо условия 2a-3b+c=0, 7a-4b+2c=0, 2b-4c=0 выполняются только в случае a=b=c=0.

[Профессор Снэйп]

Действительно не понимаете Это же абелевы группы, в них может иметь место кручение, так что из равенства $kx=0$ при целом $k$ не обязано следовать $x=0$.

В группе три порождающих: $a$, $b$ и $c$, связанных определяющими соотношениями

$$ \begin{array}{ccccccc} 2a&-&3b&+&c&=&0 \\ 7a&-&4b&+&2c&=&0 \\ &&2b&-&4c&=&0 \end{array} $$

Если второе умножить на $2$ и сложить с третьим, то получим $14a-6b=0$. А если из второго вычесть удвоенное первое, то будем иметь $3a+2b=0$. Домножив это на $3$ и сложив с предыдущим, получаем $23a=0$.

Теперь домножим первое и второе соотношения на $23$. Получим $-69b+23c=0$ и $-92b+46c=0$. Если первое из этих равенств домножить на $2$ и вычесть из второго, то останется $46b=0$. Сложив это с равенством $-69b+23c=0$, получим $-23b+23c=0$, или, что то же самое, $23c=23b$. Наконец, умножив это на $2$, получим $46c=0$.

Таким образом, любая из образующих группы при умножении на $46$ даёт $0$ и, значит... Дальше уж Вы как-нибудь сами, я уже и так слишком много подсказал.

В ответе должна получиться группа $\mathbb{Z}_{23} \times \mathbb{Z}_2$, в которой (с точностью до автоморфизма этой группы) $a = \langle 1,0 \rangle$, $b = \langle 10, 1 \rangle$ и $c = \langle 5,1 \rangle$.

[Gordmit]

Ах, ну да. Просто привык к мультипликативным группам
Вот и сассоциировались указанные соотношения с системой линейных уравнений. Извиняюсь за оффтоп.

[Профессор Снэйп]

То, что группа, вроде было понятно из названия темы, а то, что абелева --- из обозначений (абелевы группы обычно записывают аддитивно, не абелевы --- мультипликативно).

Я, кстати, не знаю, существует ли стандартный алгоритм для решения подобных задач. То решение, которое я приводил выше --- это результат работы непосредственно с определениями.

[Gordmit]

Сглючило меня, признаю и каюсь еще раз.
Открыл сейчас тетрадку с лекциями по алгебре за 2й курс, действительно теорема о разложении абелевой группы в прямую сумму/прямое произведение примарных циклических доказывалась в аддитивных обозначениях (хотя на протяжении всего курса, независимо от абелевости групп, аддитивные и мультипликативные обозначения перемежались).

Там же обнаружил и общий алгоритм, который и дает доказательство теоремы - в принципе, развитие высказанных Вами соображений. Составляется матрица коэффициентов определяющих соотношений, которая целочисленными элементарными преобразованиями строк приводится к диагональному виду:

$$ \left(\begin{matrix} d_1 & & & & & & \\ & d_2 & & & & & \\ & & \ldots & & & & \\ & & & d_k & & & \\ & & & & 0 & & \\ & & & & & \ldots & \\ & & & & & & 0 \end{matrix}\right) $$

Тогда группа изоморфна $\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}$ (количество бесконечных циклических равно количеству нулей на диагонали).
К разложению на примарные циклические перейти не составляет труда.

P.S. Просто мне чаще приходилось иметь дело с разложением в прямое произведение мультипликативных групп $\mathbb{Z}_n^*$ (мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю $n$), поэтому и привык к мультипликативных обозначениям.

[nonameru]

Выложил редкие книги по теории групп и формациям групп. Большинство на английском, но есть и на русском и немецком.

Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups
Shmidt R. Subgroup Lattices Of Groups
Ballester-Bolinshes A., Ezquerro L. - Classes Of Groups (+OCR)
Huppert B. Endliche Gruppen I
Huppert_B._Endliche_Gruppen_II
Huppert_B.,_Blackburn_N._Finite Groups II
Huppert B., Blackburn N. Finite Groups III
Kurzweil H., Stellmacher B. The Theory Of Finine Groups. An Introduction
Suzuki M. Group Theory I
Suzuki M. Group Theory II
Шеметков Л.А. Формации конечных групп
Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем

пароль на все архивы - nnm.ru. Посетите мой док scibooksdjvu.nnm.ru