Скрещивающиеся прямые

[Munin]

unistudent
Что такое $(\tau,\kappa)$? И что такое "смещаться вдоль своей линии"?

-- 25.04.2015 21:20:20 --

unistudent в сообщении #1007954 писал(а):

Зато в рамках аналитической геометрии все, как выясняется, получается довольно просто.

Не доведено до ответа - значит, не "просто".

[grizzly]

unistudent в сообщении #1007954 писал(а):

Зато в рамках аналитической геометрии все, как выясняется, получается довольно просто.

Здорово! Так что, существует решение?

-- 25.04.2015, 22:27 --

Как-то нечётко выразился. Уточню: я под словом "решение" имел в виду результат, а не процесс.

[unistudent]

Нет, ну что значит просто? Кое что, конечно, сделать надо, причем, далеко не то, что проходят в школе..

unistudent в сообщении #1007751 писал(а):

$Ox_1x_2x_3$ - ортонормальная система координат; ось $x_3$ совпадает с прямой $l_3$; $e_1,e_2,e_3$ - орты. Ищем правильный треугольник, одна из вершин находится в $O$, а две другие в точках $a,b$, $a \in l_1, b \in l_2$. Чтобы треугольник $aOb$ был правильным, должны выполняться следующие условия:

$$|a|=|b|=|b-a|,$$

что равносильно системе уравнений

$$\begin{cases}(a,a)-(b,b)=0,\\(b,b)-2(a,b)=0.\end{cases} \qquad (1)$$

Пусть

$$a=a(t)=A_3\vec{e_3}+A_2\vec{v}+t\vec{\tau},$$

где $\vec{v} \perp \vec{e_3}, \vec{v} \perp \vec{\tau}$, векторы $\vec{v}, \vec{\tau}$ единичные. Аналогично для точки $b$,

$$b=b(s)=B_3\vec{e_3}+B_2\vec{g}+s\vec{\kappa},$$

где $\vec{g} \perp \vec{e_3}, \vec{g} \perp \vec{\kappa}$. Тогда, например,

$$(a,a)=A_2^2+A_3^2+2tA_3\tau_3+t^2$$

и так далее.

$(a,b)$ - это скалярное произведение векторов: $(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$
Векторы $\vec{\tau}, \vec{\kappa}$ - направляющие векторы прямых $l_1,l_2$.
Параметры $A_2,B_2$ расстояния между прямыми $l_3,l_1$ и $l_3,l_2$. Поэтому $A_2>0,B_2>0$. Пусть $2C ,C\ge 0$ будет расстоянием между точками прямой $l_3$, ближайшими к прямым $l_1,l_2$. Тогда $A_3=C-\delta, B_3=-C-\delta$, где $\delta$ свободный параметр, которым определяется положения начала координат, т.е. точки $O$. Например, если $\delta=0$, то начало координат находится ровно посередине отрезка, концы которого те самые ближайшие к $l_1,l_2$ точки. Все остальные параметры определяются однозначно конфигурацией прямых. Векторы $\vec{\tau},\vec{\kappa}$ - направляющие векторы прямых $l_1,l_2$, смысл векторов $\vec{v},\vec{g}$ понятен. Все векторы единичные.
Распишем уравения

$$(a,a)=A_0+2A_tt+t^2,$$

где $A_0=A_2^2+A_3^2, \quad A_t=A_3\tau_3.$

$$(b,b)=B_0+2B_ss+s^2,$$

где $B_0=B_2^2+B_3^2, \quad B_s=B_3\kappa_3.$

$$(a,b)=C_0+C_s s+C_t t+C_{ts} st,$$

где

$C_0=B_3A_3+B_2A_2(\vec{v},\vec{g}), \quad C_s=A_3\vec{\kappa_3}+A_2(\vec{v},\vec{\kappa}), \quad C_t=B_3\tau_3+B_2(\vec{\tau},\vec{g}), \quad C_{ts}=(\vec{\tau},\vec{\kappa}). $

Первое ур-е в (1)

$$(t+A_t)^2-(s+B_s)^2=A_t^2-B_s^2+B_0-A_0$$

как видим является ур-м гиперболы, главная ось которой может быть параллельна или абсциссе или ординате, в зависимости от знака правой части. Асимптоты гиперболы образуют прямой угол! Второе уравнение м.б. или гиперболой или параболой. Если $(\tau,\kappa) \ne 0$, то это гипербола, иначе парабола. Ее главная ось проходит под углом $\varphi$,

$$\varphi=\frac{\pi}{4} + \alpha \quad \text{или} \quad \varphi=\frac{3\pi}{4} + \alpha$$

, в зависимости от знаков входящих коэффициентов,

$$\cos\alpha=\frac{2\cos\theta}{\sqrt{1+4\cos^2\theta}},$$

где $\cos\theta=(\vec{\tau},\vec{\kappa})$, т.е. $\theta$-угол между прямыми $l_1,l_2$. Углы асимптот второй гиперболы уже не образуют прямого угла, более того, центры обоих гипербол не совпадают, а значит асимптоты пересекаются. Чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли сами гиперболы, надо посмотреть, с какой стороны они подходят к асимптотам, или понять где лежат вершины гипербол, или что-нибудь еще… Про влияние свободного параметра $\delta$ - он влияет лишь на величину больших полуосей гипербол и положения их центров. А в итоге, да, согласен, задание занудное и требует возни. Лично для меня картинка прояснилась и задачу я считаю вполне себе решабельной. Ясно, что можно построить массу заданных треугольников для массы всевозможных конфигураций скрещивающихся прямых. Вполне возможно, что существуют такие конфигурации, которые не допускают построения некоторых треугольников. Но ответ на этот вопрос можно получить описанным способом. Только вот буду ли я этим заниматься Думаю, что нет

[Evgenjy]

Рассмотрим случай, когда три скрещивающиеся прямые не параллельны одной плоскости.
Идея доказательства.
1 Возьмем две прямые, угол между которыми наибольший. Пусть это будут прямые $a$ и $b$ их направляющие единичные векторы $e_a$ и $e_b$. На этих прямых возьмем точки $A$ и $B$, соответственно. На отрезке $AB$ построим треугольник подобный исходному так, чтобы $AB$ была наименьшей стороной. Вращаем полученный треугольник вокруг $AB$. Третья вершина треугольника опишет окружность. Плоскость, в которой лежит окружность, обозначим $P$. Точку пересечения третьей прямой с $P$ обозначим $C$. Рассмотрим такую конструкцию при всех $A_t=A+e_at$ и $B_t=B+e_bt$, при любом действительном $t$.
2 При достаточно больших $t$ скорость увеличения радиуса окружности при увеличении $t$ больше, чем скорость увеличения расстояния между $C_t$ и центром окружности. Следовательно существует такое $t$, при котором $C_t$ лежит внутри окружности.
3 При изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ плоскость $P_t$ поворачивается на угол $\pi$. Следовательно существует позиция при которой $P_t$ параллельна третьей прямой. Следовательно в близких позиция $C_t$ лежит вне окружности.
4 Радиус и позиция окружности изменяются непрерывно с изменением $t$. Следовательно существует $t$, при котором $C_t$ лежит на соответствующей окружности. Так получаем требуемый треугольник.
Осталось разобрать случай, когда три скрещивающиеся прямые параллельны одной плоскости.

[Skeptic]

mihatel в сообщении #1004119 писал(а):

Есть три попарно скрещивающиеся прямые. Всегда ли существует плоскость, точки пересечения которой с этими прямыми образуют правильный (или прямоугольный, или вообще подобный любому наперед заданному) треугольник?

Скрещивание прямых зависит от направления взгляда наблюдателя, т.е. - это субъективное ощущение, которое, как правило, обманчиво.
Как известно, через две не пересекающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости. Если смотреть вдоль этих плоскостей, то прямые не скрещиваются. Таким образом, не существуют объективно попарно скрещивающихся прямых, даже, если их три. Три линии всегда можно повернуть так, что для наблюдателя две любые из них будут выглядеть как параллельные.

mihatel , откуда эта задача?

Lia: См. post1009311.html#p1009311

[ex-math]

Skeptic
Вы бы хоть с определением скрещивающихся прямых познакомились, прежде чем рассуждать о них.

[Munin]

unistudent в сообщении #1008115 писал(а):

Чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли сами гиперболы, надо посмотреть, с какой стороны они подходят к асимптотам, или понять где лежат вершины гипербол, или что-нибудь еще…

Ну то есть, ответа у вас нет.

[Brukvalub]

Skeptic в сообщении #1008263 писал(а):

...
Скрещивание прямых зависит от направления взгляда наблюдателя, т.е. - это субъективное ощущение, которое, как правило, обманчиво.
Как известно, через две не пересекающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости. Если смотреть вдоль этих плоскостей, то прямые не скрещиваются. Таким образом, не существуют объективно попарно скрещивающихся прямых, даже, если их три. Три линии всегда можно повернуть так, что для наблюдателя две любые из них будут выглядеть как параллельные...

Что это было? Поток бреда?

[mihatel]

Evgenjy в сообщении #1008196 писал(а):

...Точку пересечения третьей прямой с $P$ обозначим $C$....

А почему эта плоскость пересекается с третьей прямой?

Evgenjy в сообщении #1008196 писал(а):

2 При достаточно больших $t$ скорость увеличения радиуса окружности при увеличении $t$ больше, чем скорость увеличения расстояния между $C_t$ и центром окружности.

Это тоже непонятно.

-- Пн апр 27, 2015 09:20:05 --

unistudent в сообщении #1008115 писал(а):

...Только вот буду ли я этим заниматься Думаю, что нет

Я не совсем четко сформулировал условие, и , кажется, Вы решили другую задачу. Ведь в условии прямые не заданы. Там спрашивается: всегда ли? Ответ нужен сразу для всех конфигураций. Поэтому переменных должно быть гораздо больше, чем две. Какие же тут могут быть гиперболы?

[Evgenjy]

mihatel в сообщении #1008408 писал(а):

А почему эта плоскость пересекается с третьей прямой?

Например при больших $t$ угол между плоскость $P_t$ и общей плоскостью параллельной прямым $a$ и $b$ стремится к нулю, а третья прямая имеет с этой общей параллельной плоскостью угол больше нуля.

mihatel в сообщении #1008408 писал(а):

2 При достаточно больших $t$ скорость увеличения радиуса окружности при увеличении $t$ больше, чем скорость увеличения расстояния между $C_t$ и центром окружности.
Это тоже непонятно.

Потому что так выбраны прямые $a$ и $b$.

Evgenjy в сообщении #1008196 писал(а):

Возьмем две прямые, угол между которыми наибольший.

и сторона $AB$

Evgenjy в сообщении #1008196 писал(а):

чтобы $AB$ была наименьшей стороной

. При доказательстве большей скорости роста при достаточно больших можно считать, что три скрещивающиеся прямые пересекаются в одной точке.

В описании идеи доказательства я дал достаточно информации, чтобы можно было восстановить все детали. Я бы не хотел все это разжевывать.

[unistudent]

mihatel в сообщении #1008408 писал(а):

кажется, Вы решили другую задачу. Ведь в условии прямые не заданы. Там спрашивается: всегда ли? Ответ нужен сразу для всех конфигураций. Поэтому переменных должно быть гораздо больше, чем две. Какие же тут могут быть гиперболы?

О, так мы точно далеко не уедем. Задачу вашу я понял прекрасно. А вот вы, судя по всему, внимательно читаете только то, что пишут ЗУ. Поясню, может, заинтересует. Гипербола $(a,a)=(b,b)$- это множество всех равнобедренных треугольников, которые можно построить для заданной конфигурации прямых. Такая гипербола существует при при любых параметрах (см. выше), и поэтому, например, равнобедренный треугольник построить можно всегда. Соберитесь, и только не надо говорить, что мол Brukvalub это уже доказал. Думайте дальше! И не по времени, а по расстоянию

[INGELRII]

Как говорил великий мастер Йода, "Используй матанализ, Люк"

Есть два случая трех попарно скрещивающихся прямых: когда через них можно провести три параллельные плоскости, и когда нельзя. Я пока разобрал только случай, когда нельзя, он проще.

Итак, возьмем две прямые и на них зафиксируем две пары точек. Первая пара - это точки такие, что плоскость, перпендикулярная отрезку их соединяющему, и проходящая через его середину, параллельна третьей прямой. Вторая пара - такая, что третья прямая пересекает отрезок, их соединяющий, в его середине. (И то, и другое возможно.) Теперь возьмем и некоторым образом передвинем точки вдоль прямых из первой пары во вторую, и все это дело параметризуем так, что первой паре соответствует значение параметра минус бесконечность, второй - плюс бесконечность, промежуточным парам какие-то промежуточные значения параметра. Для каждой пары точек построим также на третьей прямой точку, равноудаленную от них (это собственно есть точка пересечения третьей прямой и срединно-перпендикулярной плоскости к той паре точек).

Тогда мы получили параметризованное множество треугольников, такое что:

1) все вершины треугольников лежат каждая на данных нам прямой соответственно;

2) каждый треугольник является равнобедренным, причем на третьей прямой лежит как раз вершина при равных сторонах;

3) при стремлении параметра к минус бесконечности, угол при третьей вершине стремится к нулю, а при стремлении параметра к плюс бесконечности - к 180 градусам;

4) все длины сторон и значения углов в треугольниках при непрерывном изменении параметра меняются также непрерывно.

А раз так, то найдется такое значение параметра, при котором угол при третьей вершине будет равен 60 градусов. Но такой треугольник и есть равносторонный. Куод еррат демонстрандум.

Более того. Теперь, когда для взятого нами движения пар точек из первого положения во второе мы нашли равносторонний треугольник - мы возьмем другое движение, такое что ни одна пара точек в нем не совпадает ни с одной парой из предыдущего (кроме начальной и конечной, само собой). Для такого движения мы также найдем равносторонний треугольник, и он будет уже другим. А различных движений пар точек есть континуум, ровно столько же есть и равносторонних треугольников на наших прямых.

Разбор случая, когда скрещивающиеся прямые лежат на трех параллельных плоскостях смотрите в следующей серии (ну, когда я с ним вообще справлюсь, и если вообще справлюсь)...

[Evgenjy]

INGELRII в сообщении #1008438 писал(а):

Вторая пара - такая, что третья прямая пересекает отрезок, их соединяющий, в его середине.

Это далеко не всегда возможно. ГМТ середин отрезков, соединяющих пары точек двух скрещивающихся прямых, является прямая, лежащая в общей параллельной плоскости. Совсем не обязательно, что эту прямую пересечет третья скрещивающаяся прямая.

[mihatel]

unistudent в сообщении #1008431 писал(а):

mihatel в сообщении #1008408 писал(а):

кажется, Вы решили другую задачу. Ведь в условии прямые не заданы. Там спрашивается: всегда ли? Ответ нужен сразу для всех конфигураций. Поэтому переменных должно быть гораздо больше, чем две. Какие же тут могут быть гиперболы?

О, так мы точно далеко не уедем.

Торопиться не надо. С равнобедренным и прямоугольным треугольниками понятно. А почему у Вас для произвольного случая получается одно уравнение с одним неизвестным, я, извините, не понял. Если мы говорим об одном и том же, конечно. Вы, например, берете на прямой точку, называете ее О и говорите, что она является вершиной равностороннего треугольника. Загадка!

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #1008474 писал(а):

ГМТ середин отрезков, соединяющих пары точек двух скрещивающихся прямых, является прямая, лежащая в общей параллельной плоскости.

Бред какой-то. Быть может, вся эта плоскость? но уж точно не прямая.