решение интгралов

[nostradamus]

как решаются эти два интеграла?

$$\int x^2/1-x^2 dx$$

и

$$\int x^2/1+x^2 dx$$

[Профессор Снэйп]

Наверное, надо расставить скобки. А то неясно, на что делится $x$: на единицу или на $1 \pm x^2$.

А вообще

$$ \frac{x^2}{1 \pm x^2} = \pm 1 \mp \frac{1}{1 \pm x^2} $$

так что интегралы легко сводятся к табличным.

[nostradamus]

Профессор Снэйп
спасибо, а вот такой как:

$$\int dx/(2+3x^2)$$

[AD]

Заменой переменных $y=\sqrt{\frac32}x$ свести к такому же стандартному.

[nostradamus]

AD
а по подробней

[PAV]

А что тут подробней? Сделайте предлагаемую замену и посмотрите, что получится.

[nostradamus]

не понятно как

$$y=sqrt(3/2)*x $$

нашлось?

[AD]

Ну из соотношения $2y^2=3x^2$. А последняя двойка - чтобы в знаменателе получилось $2+2y^2=2(1+y^2)$, и константа выносится.

[nostradamus]

AD
всё разобрался, а как решается

$$\int sin(lnx)dx$$

[AD]

Интеграл запишется гораздо проще после замены $x=e^y$. Логарифм под синусом - ужасная гадость, его нужно изничтожить. Потом - по частям.

[nostradamus]

AD писал(а):

Интеграл запишется гораздо проще после замены $x=e^y$. Логарифм под синусом - ужасная гадость, его нужно изничтожить. Потом - по частям.

непонятно

[AD]

nostradamus писал(а):

непонятно

Что именно? Как делать замену? Откуда она взялась? Как интегрировать по частям?

[nostradamus]

AD
вы можете написать что нужно делать до интегрирования по частям

[AD]

$\int\sin\ln x\,dx=\int\sin\ln e^y\,de^y=\int e^y\sin y\,dy$

[nostradamus]

$$sin y e^y - \int cos y e^y$$

так получится?