Нормальная подгруппа

[Kras]

Верно ли, что всякая нормальная подгруппа является коммутативной? По сути что у нас есть: $(N\subseteq G)\wedge (a\in N)\wedge (g\in G)\Rightarrow gag^{-1}\in N$. И если предположить, что она коммутативна, то $gag^{-1}=gg^{-1}a=a$ и мы имеем бесполезное определение. Я сейчас думаю как найти контрпример, но ничего не получается.

[Xaositect]

Kras в сообщении #1007835 писал(а):

Я сейчас думаю как найти контрпример, но ничего не получается.

Например, $A_n$ в $S_n$

[Kras]

Да уж. Кажется я тут совсем запутался. Произведения $ag^{-1}$ и $g^{-1}a$ мы берем в группе $G$.

Что такое $A_n$ в $S_n$ ?

[Brukvalub]

Kras в сообщении #1007835 писал(а):

Верно ли, что всякая нормальная подгруппа является коммутативной? По сути что у нас есть: $(N\subseteq G)\wedge (a\in N)\wedge (g\in G)\Rightarrow gag^{-1}\in N$. И если предположить, что она коммутативна, то $gag^{-1}=gg^{-1}a=a$ и мы имеем бесполезное определение. Я сейчас думаю как найти контрпример, но ничего не получается.

Непонятно, как из коммутативности нормального делителя вытекает перестановочность элементов группы и нормального делителя.

[Kras]

Brukvalub
Я запутался, да.

[Brukvalub]

Kras в сообщении #1007840 писал(а):

Что такое $A_n$ в $S_n$ ?

Это стандартные объекты теории групп: $S_n$ - группа перестановок, $A_n$ - ее подгруппа четных перестановок. У Куроша почитайте.

[sizizi]

Может я ошибаюсь, но если $g\in G$ и $a\in N$ и $N$ - коммутативная, то это не значит, что $ga=ag$ потому что $g\notin N$; это значит, что $a\cdot gag^{-1}=gag^{-1}\cdot a$;
$gag^{-1} = gg^{-1}a$ - только если $N$ - центр группы или $G$ - коммутативная