2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 20:43 
Аватара пользователя
Здравствуйте! Не могли бы Вы помочь найти ошибку: нужно найти объем тела: $x^2+y^2+z^2 \leq 4,z \geq 1$. Считаю сферической заменой, получаю интеграл: $$\int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{\pi} d \theta \int\limits_{\frac{1}{\cos \theta}}^{2} r^2 \sin^2 \theta dr$. А этот интеграл не сходится. Не подскажите, где я ошибаюсь?

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 20:50 
Аватара пользователя
Посмотрите на пределы интегрирования для тэта.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 20:51 
Аватара пользователя
$[0;\pi]$ Так написано на википедии и на остальных ресурсах

-- 24.04.2015, 21:52 --

ограничений на тету здесь нет

-- 24.04.2015, 21:54 --

так, $\ cos \theta >0 $ что ли...

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:00 
Аватара пользователя
У Вас что за фигура и где располагается?

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:02 
Кстати, цилиндрические координаты были бы удобнее.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:02 
Аватара пользователя
Это кусок сферы, отрезанный плоскостью. Расположен над плоскостью $XOY$

-- 24.04.2015, 22:02 --

Pphantom
Это то да, мне просто не дает покоя, почему цилиндрические дают бесконечность

-- 24.04.2015, 22:07 --

Интеграл $$\int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int\limits_{\frac{1}{\cos \theta}}^{2} r^2 \sin^2 \theta dr$ все равно расходится

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:10 
Аватара пользователя
Ну разве луч с $\theta=1.4$ будет пересекать фигуру? Нарисуйте сечение по оси $z$

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:10 
MestnyBomzh в сообщении #1007673 писал(а):
Это то да, мне просто не дает покоя, почему цилиндрические дают бесконечность
Очевидно, потому, что Вы не умеете их готовить. :D

Представьте себе, например, земной шар, от которого отрезан соответствующий кусок, этакая "шапка" вокруг полюса. В Ваших обозначениях $\varphi$ - это долгота, $\theta$ - широта. В каких пределах меняются широты/долготы точек, попавших на поверхность "шапки"?

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:17 
Готовить-то ТС их не умеет. Но расходится интеграл у него не поэтому, а потому что он якобиан сферической замены не помнит.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 21:24 
Аватара пользователя
Угу, вижу. Долгота у нас ограничена. Кажется, это выводится так: $r \cos \theta \geq 1$ отсюда $\cos \theta \geq \frac{1}{r}$. И при $r=2$ получаем ограничение необходимое: $\theta \in [0;\frac{\pi}{3}]$

-- 24.04.2015, 22:25 --

А якобиан разве не такой: $|J|=r^2 \sin  \theta$

-- 24.04.2015, 22:26 --

А, ну да. лишний квадрат вставил

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение24.04.2015, 22:17 
Otta в сообщении #1007682 писал(а):
Но расходится интеграл у него не поэтому, а потому что он якобиан сферической замены не помнит.
И это тоже. :D
MestnyBomzh в сообщении #1007686 писал(а):
Долгота у нас ограничена
Широта.
MestnyBomzh в сообщении #1007686 писал(а):
И при $r=2$ получаем ограничение необходимое: $\theta \in [0;\frac{\pi}{3}]$
Тепло, но все-таки не то.

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение25.04.2015, 07:55 
Pphantom в сообщении #1007702 писал(а):
Тепло, но все-таки не то.

Почему же? Вроде всё верно ($\theta$ отсчитывается сверху).

 
 
 
 Re: Тройной интеграл
Сообщение25.04.2015, 13:59 
NSKuber в сообщении #1007763 писал(а):
Почему же? Вроде всё верно ($\theta$ отсчитывается сверху).
А, да, действительно.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group