Сходимость ряда из обратных частичных сумм

[2old]

Пусть $a_n>0$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ расходится. Определить, сходится ли $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{S^2_n}$, где $S_n=a_1+\dots+a_n$

Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

[ИСН]

Скорее всего это какая-то интегральная сумма.

-- менее минуты назад --

Да уж понятно, какая.

[2old]

ИСН
Как-то совсем не вижу

[sup]

Вот если все $a_n =1$, то возникает ряд $\sum \frac {1}{n^2}$. Суммировать такой ряд не очень просто. Для доказательства суммируемости, его обычно сравнивают с рядом $\sum \frac {1}{n(n-1)}$, у которого частичные суммы легко выписываются.
Может и в Вашем случае попробовать что-то аналогичное?

[2old]

В порядке отчаинья

$$\sum\frac{a_n}{S^2_n}\leq\sum\frac{a_n}{\sum\limits_{i=1}^{n} a^2_i}$$

Далее, $a^2_i+\frac{1}{i^2}>\sqrt{a^2_i/i^2}=\frac{a_i}{i}$

И пока все

[Evgenjy]

2old в сообщении #1007511 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

Вам sup дал прекрасную подсказку. Там получается все быстро и красиво.

[ИСН]

Я тоже дал прекрасную подсказку. Ну вот мы берём $\int{1\over x^2}dx$, и приближаем этот интеграл суммой, а точки разбиения - это...

[VladimirKr]

ИСН в сообщении #1007563 писал(а):

Я тоже дал прекрасную подсказку. Ну вот мы берём $\int{1\over x^2}dx$, и приближаем этот интеграл суммой, а точки разбиения - это...

Да, припомнилось, что задача в общем виде звучит так:
Пусть $a_n>0$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ расходится. $S_n=a_1+\dots+a_n$
Доказать, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{S_n}$ расходится, а для $\forall\delta>0 \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{{S_n}^{1+\delta}}$ сходится

[sup]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #1007563 писал(а):

Я тоже дал прекрасную подсказку. Ну вот мы берём $\int{1\over x^2}dx$, и приближаем этот интеграл суммой, а точки разбиения - это...

Очень технологичная подсказка. Сразу же формирует определенный взгляд на такие суммы. Но тогда может еще лучше написать так $\int{1\over s^2}ds$

2old
Советую Вам использовать очевидное равенство $a_n = S_n - S_{n-1}$.

[ewert]

Там со сходимостью всё очевидно, а вот с расходимостью вопрос чуть более деликатный. Сумма-то всё-таки не совсем интегральная, а неравенство направлено не в ту сторону, что надо; так что понадобятся кой-какие допзаклинания.

[2old]

Мда, Так ведь?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{S^2_n}\leq\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{S_{n}S_{n-1}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{S_n-S_{n-1}}{S_{n}S_{n-1}}$=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{a_1}

ИСН
Так?
$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{n}{k})^2\cdot\frac{k-(k-1)}{n}=\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx$
В общем виде тогда можно записать как
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}S({\frac{k}{n}})=\int\limits_0^{1}S(x)dx$
Как здесь воткнуть не вижу...

[ewert]

2old в сообщении #1007639 писал(а):

Так ведь?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{S^2_n}\leq\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{S_{n}S_{n-1}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{S_n-S_{n-1}}{S_{n}S_{n-1}}$=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{a_1}

Так, за исключением самого последнего шага (но его легко исправить). Однако это так просто проходит только для квадрата, для произвольной же степени надо не изощряться, а тупо оценить эту сумму сверху соответствующим интегралом. Не интерпретировать как интегральную, а именно оценить сверху.

[2old]

ewert
$n = 2; & \frac{1}{S_1}-\frac{1}{S_2}$
$n = 3; & \frac{1}{S_1}-\frac{1}{S_2}+ \frac{1}{S_2}-\frac{1}{S_3}$
$\dots$
В итоге $\frac{1}{S_1}-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{S_n}$
По условию $a_i>0$, ряд из них расходящийся значит $S_n$ бесконечно большая...Где ошибка?

[ewert]

2old в сообщении #1007644 писал(а):

Где ошибка?

Сейчас-то нигде. А там Вы что написали?...

[2old]

$\frac{1}{a_1}$ написал...Так $S_1=a_1$ ведь?
Я там не дописал)) Видимо ошибку))

По условию $a_i>0$, ряд из них расходящийся значит $S_n$ бесконечно большая, значит предел $\lim\frac{1}{S_n}=0$