Разложение функции интеграла в ряд Маклорена

[Enne]

Алексей К.
спасибо, статью я прочитала уже давно, но, когда приходится применять знания о малых больших "о", я теряюсь.
Допустим, чтобы понять, какой остаточный член получится здесь: $f(x)=x-\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^5}{5!5}-\frac{x^7}{5!7}$ мы должны поделить предел функции (который получается равным 1) на предел $\frac{x^7}{5!7}$, потом прийти к выводу, что данное соотношение ограничено сверху и поэтому написать $O(x^7)$? я, наверное, глупости говорю, но спросить мне не у кого, а в книжках что-то совсем мало по этому поводу написано. Извините.

Добавлено спустя 1 час 20 минут 33 секунды:

Архипов, я не очень поняла сообщение.
Мы нашли приближение, хорошо. Но почему вы берете интеграл, не разложив функцию в ряд?

[Brukvalub]

Архипов писал(а):

Уже вопрос прояснен.
Просто дополняю
для примера $\int^a_0\frac{sin(t^2)}{t}dt$ предел а не больше 1, потому хорошее приближение получается таким:
$lim(sin(t^2)/t)=t$
$\int^a_0\{tdt} = t^2/2=a^2/2$

Стоит ли пояснять другим то, в чем плохо разбираешься сам ?

[Алексей К.]

Enne писал(а):

я, наверное, глупости говорю... Извините.

Извиняться особо не о чем. Экзамен прошёл (надеюсь, он сдался), и мы, не спеша, попробуем добраться до понимания. Если не получится --- переживём как-нибудь, и свалим всё на медленность форумного общения...
Вам понятно будет, если кто-то произнесёт: "Да мы на еду тратим о малое от того, что уходит на твою косметику!"
Или так: "Да моя косметика --- о малое от того, что ты пропиваешь с друзьями!"
Или так: "Время, которое у него на уроки уходит --- о малое от того, сколько он в игрушки на компьютере играет!"
Это всё ненадёжные заявления: может быть, мы на еду тратим ровно или около 10% от того, "что уходит на твою косметику". И тогда это никакое не о малое. Это О большое, величины одинаковой степени убывания/возрастания, пусть и с большим коэффициентом подобия. Гораздо надёжнее примеры типа: $x^5$ --- о малое от $x$.
Или так: $x^5$ --- о малое от $\sin x$.
Или так: $x^5$ --- о малое от $x^2$.
Или так: $x^5$ --- о малое от $10x^2$ (если где-то непонятка случилась --- сигнализируйте)
Или так: $x^5$ --- о малое от $-1000x^2$!
Или так: $x^5$ --- о малое от $10000000000x^2$!
Или так: $x^5$ --- о малое от $-100x^4$!
Или так: $x^5$ --- о малое от $10000x^5$! --- А вот это уже неправда!!!
Эта часть понятна?

Теперь переходим к Вашей функции. Это неправда, что
$F(x)=\int^x_0 \dfrac{\sin t}{t}dt = x-\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^5}{5!5}$.
На самом деле

$$F(x)=\int^x_0 \frac{\sin t}{t}dt = x-\dfrac{x^3}{3!3}+\dfrac{x^5}{5!5}\underbrace{-\dfrac{x^7}{7!7}+\dfrac{x^9}{9!9}-\dfrac{x^{11}}{11!11}+\ldots\ldots\ldots\ldots}_{r(x)}$$

.
Вот то, что я обозначил как $r(x)\sim\dfrac{x^7}{7!7}+\ldots$, т.е. остаточный член(ы), которым мы пренебрегли, это Вас и просят оценить в виде $o(x^{\mbox{?}})$. Не зря Вас, кажется, призывали написать их побольше...
И вот теперь Вас просят сказать, о малым от чего является то, что я обозначил как $r(x)$?
Да скажете Вы, если бы было, что
$r(x)=-\dfrac{x^7}{7!7}$, я бы рискнула ответить. Что это $o(x^6)$. Но ведь там сумма бесконечного количества членов ---
$r(x)=-\dfrac{x^7}{7!7}+\dfrac{x^9}{9!9}-\dfrac{x^{11}}{11!11}+\ldots$!!!
Есть такой нюанс, но это уже немножко другой факт теории. О том, что эта бесконечная сумма своего первого слагаемого не забивает.

[Enne]

вроде все, что Вы написали, поняла. У меня еще один вопрос: тут сказали, что если вместо $o(x^6)$ написать $o(x^5)$ -- это не ошибка. Почему? Потому что погрешность остается сравнительно небольшой? $o(x^6)$ будет быстрее бежать к нулю, как я понимаю О.о
Или в другом примере: я бы тогда поставила $o(x^9)$ (потому что след. член получался 10 порядка), почему тогда можно поставить 8 и что будет вернее?
А еще вот какой опрос: то есть малое о у нас всегда будет хотя бы на один порядок больше, а большое такого же порядка?
Спасибо большое за помощь! Будем надеяться, что экзамен я сдала, а еще через полторы недели меня ожидает аналитическая геометрия.

[Алексей К.]

Enne писал(а):

тут сказали, что если вместо $o(x^6)$ написать $o(x^5)$ -- это не ошибка. Почему?

Вам говорили про конкретный остаточный член, ранее обозначенный как $r(x)\sim x^7^$.
Конечно, про него можно написать $r(x)=o(x)$ (ракета движется скорее пешехода), это вроде как правда, но совсем неинтересно. Правда и то, что $r(x)=o(x^3)$ (ракета движется скорее автобуса), и $r(x)=o(x^5)$ (скорее Феррари).

Brukvalub писал(а):

Так можно записать, и это будет верно. Но можно и уточнить, повысив степень переменной в остаточном члене.

Но можно и уточнить $r(x)=o(x^6)$ (ракета движется скорее самолёта), и это самая ценная в данном случае информация.
Вас просят привести наиболее сильное утверждение из множества верных утверждений.

Теперь стоит вернуться к формальному определению и обдумывать ситуацию с его помощью (без всяких там ракет и косметик). Мы говорим, что $r(x)=o(f(x))$, если $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{r(x)}{f(x)}=0$. Нулю, а не какой-нибудь константе. Если не нуль, то две величины ведут себя примерно одинаково, пропорционально откликаются на изменение $x$. Если нуль --- то принципиально по-разному, никакую пропорциональность установить невозможно.

Добавлено спустя 54 минуты 14 секунд:

Enne писал(а):

А еще вот какой опрос: то есть малое о у нас всегда будет хотя бы на один порядок больше, а большое такого же порядка?

Этот Ваш студенческий жаргон Вам же и мешает понимать, о чём речь. "Малое о" --- значок, символ. Про него так говорить низя.

Переводчик писал(а):

Если две величины связаны соотношением $r(x)=o(f(x))$, то $r(x)$ у нас всегда будет хотя бы на один порядок больше, чем $f(x)$?

Ну да... Определение допускает и на пол-порядка, но мы, оставаясь в рамках рядов Маклорена, не будем пока повышать планку...

[Профессор Снэйп]

Хочется ещё заметить, что при работе с о-символикой намеренно допускается некоторая некорректность в обозначениях.

Дело в том, что "о-малое" --- это не одна функция, а класс функций, характеризующийся предельным поведением своих элементов. Вместо равенства с формальной точки зрения во многих случаях было бы правильнее использовать отношение принадлежности. Например, вместо $1 - \cos x = o(x)$ правильнее было бы писать $1 - \cos x \in o(x)$.

Равенство, насколько мне известно, используют только потому, что оно сокращает выкладки. Но, пользуясь им, всегда полезно помнить, что за ним стоит. А то ведь можно из таких "равенств" $1 - \cos x = o(x)$ и $x / \ln x = o(x)$ ненароком прийти к утверждению

$$ 1 - \cos x = x/ \ln x $$

которое ложно везде, и даже в окрестности нуля.

[Алексей К.]

Алексей К. писал(а):

Это небольшое предисловие, которое, надеюсь, поможет осилить статью "O большое и o малое".

Да, указанная статья этот вопрос затрагивает.

[Enne]

Все стало очень понятно! Большое спасибо!

Алексей К. писал(а):

Мы говорим, что $r(x)=o(f(x))$, если $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{r(x)}{f(x)}=0$.

А в каком случае тогда $r(x)=O(f(x))$.

[Алексей К.]

Enne писал(а):

А в каком случае тогда $r(x)=O(f(x))$ ?

Алексей К. писал(а):

Мы говорим, что $r(x)=o(f(x))$, если $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{r(x)}{f(x)}=0$. Нулю, а не какой-нибудь константе.

А вот если какой-нибудь константе, т.е. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|r(x)|}{|f(x)|}=const\not=0$, то мы как раз и получим $O(f(x))$. Но это будет простенький частный случай. Константу можно слегка отпуститить и разрешить этой величине поизменяться. Подумаешь --- час назад была 20.3, опустилась до 0.7, потом 1.. Лишь бы в ноль не залезла и в бесконечность не попёрла. Ну, не более 1000. Или 999999999,35. Короче, некое число $C$, выше которого это отношение $\dfrac{|r(x)|}{|f(x)|}$ не залезет, в природе должно существовать. Т.е. $\dfrac{|r(x)|}{|f(x)|}\le C$.

Оттого в той статье и такое определение (буковки $f,g$ я поменял на наши)

Википедия писал(а):

Говорят, что:
$r$ является «O» большим от $f$ при $x\to x_0$, если существует такая (союз мой, АК) константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство
$|r(x)| \le C |f(x)|$;

(мы здесь для простоты вокруг $x_0=0$ крутились)
Третий случай, O$(x)$ («O огромное от $x$»), определениями не предусмотрен. Мы тогда просто поменяем $r$ и $f$, и используем имеющееся «о малое» .

[Enne]

ааа, ну тогда ясно, что если функции будут одинакого порядка и предел будет существовать, то мы уже имеем дело с $O(x^n)$.
О огромное -- это, когда бы предел стремился к бесконечности? Тогда мы меняем функции местами и получаем нуль.
Вроде все ясно, очень хорошо, что Вы помогли мне с этим разобраться, большое Вам спасибо!!!

[Алексей К.]

Выше Enne масенькими буковками писал(а):

а еще через полторы недели меня ожидает аналитическая геометрия.

Успехов Вам, приходите ещё!

[Архипов]

Brukvalub писал(а):

Архипов писал(а):
Уже вопрос прояснен.
Просто дополняю
для примера предел а не больше 1, потому хорошее приближение получается таким:

Стоит ли пояснять другим то, в чем плохо разбираешься сам ?

Глянул на Ваши высказывания: "советы постороннего".
А окончательную формулу определенного интеграла так и не вывели,
Написано: $t-t^5/3!+t^10/5!$, а ответ-то другой.

[Brukvalub]

Архипов писал(а):

Глянул на Ваши высказывания: "советы постороннего".
А окончательную формулу определенного интеграла так и не вывели,
Написано: $t-t^5/3!+t^10/5!$, а ответ-то другой.

Я, конечно, двоечник, а эту тему, вдобавок, еще и проболел. Но, судя по Вашим перлам, Вы этого вообще никогда не проходили.

Архипов писал(а):

для примера $\int^a_0\frac{sin(t^2)}{t}dt$ предел а не больше 1, потому хорошее приближение получается таким:
$lim(sin(t^2)/t)=t$
$\int^a_0\{tdt} = t^2/2=a^2/2$

Поясняю (Вы ведь хотите детального разбора своих ляпов? - извольте получить). 1. Ни один математик не напишет, что пределом одной функции в точке является другая функция! Я уже больше 20 лет выгоняю за такие выкрутасы бездельников с зачета по математическому анализу.
2. В третьей строке написан определенный интеграл, который затем приравнен к некоторой функции без упоминания границ интегрирования (для этого обычно используют так называемый символ Ньютона-Лейбница, если этот термин Вам чего-нибудь говорит).
3. Непонятно, зачем вообще заменять одно выражение другим без указания совершаемой при этом ошибки. Такой подход для математика в корне неверен! В исходном вопросе речь как раз шла о способе выписывания асимптотики совершаемой ошибки. Отвечая (к тому же неверно) на совсем другой вопрос, Вы только запутываете вопрошающего, начавшего понимать суть дела из предыдущих ответов. Это видно по ее реакции на Ваше сообщение:

Enne писал(а):

Архипов, я не очень поняла сообщение.
Мы нашли приближение, хорошо. Но почему вы берете интеграл, не разложив функцию в ряд?

И последнее. Согласно правилам этого раздела, которые полезно знать всякому помогающему, здесь предписано не решать задачу за другого, а именно помогать советами "со стороны".

[Архипов]

Enne писал(а):

$sent= t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}$

$sent^2=t^2-\frac{t^6}{3!}+\frac{t^1^0}{5!}$
$\frac{sent^2}{t}=t-\frac{t^5}{3!}+\frac{t^9}{5!}$

Итак, вопрос. Где взять восьмой порядок?

$\int^a_0\frac{sin(t^2)}{t}dt=\frac{a^2}{2}-\frac{a^6}{6*3!}+\frac{a^1^0}{10*5!}-...$
$a<1,57$____Вместо восьмого возьмем десятый.