Задача с параметром

[Blackbird32]

Здравствуйте! Такая задача. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$(|x-9| - |x-a|)^2 - 9a(|x-9| - |x-a|) +8a^2 +28a-16=0$
имеет ровно два решения.
Сделал замену выражения в скобках, получил квадратное уравнение, в итоге вышло:
$(|x-9| - |x-a|)=a+4$ и
$(|x-9| - |x-a|)=8a-4$
Как теперь быть? Шаблона под такую ситуацию нет, обе части уравнений не статичны, разность модулей... Помогите.

[gris]

График каждой левой части последних уравнений довольно специфичен. У каждого уравнения на некотором интервале для параметра корень ровно один. Надо найти пересечение интервалов и посмотреть, нет ли при каком значении совпадения корней.

[Blackbird32]

gris в сообщении #1006853 писал(а):

График каждой левой части последних уравнений довольно специфичен. У каждого уравнения на некотором интервале для параметра корень ровно один. Надо найти пересечение интервалов и посмотреть, нет ли при каком значении совпадения корней.

Надо, поддерживаю. Вопрос в том, как это сделать?

[gris]

Первое уравнение при разных значениях параметра $a$ может иметь бесконечное число корней, не имет корней, и иметь ровно один корень. Как и второе.
Нас интересует, когда уравнение имеет ровно один корень. Ну можно его даже найти. Сразу говорим, что при $a=9$ уравнения корней не имеют. При остальных значениях параметра у левой части есть наклонный участок. Между какими точками? Кстати, можно попытаться модули раскрыть и без всяких графиков посмотреть.

[katzenelenbogen]

Я бы раскрывал модули, смотрел, во что превращаются уравнения и их решения при разных комбинациях $x$ и $a$, и в итоге при каких значениях $a$ получаются ровно 2 решения. Но это долго делать, поэтому тратить время и разбирать всё аккуратно не буду. Но в любом случае, если идти по тому пути, который я предложил, там при каждом случае раскрытия модуля получается обычное квадратное уравнение относительно $x$, поэтому там, скорее всего, всё легко должно получиться. Очень долго и аккуратно надо писать просто, а у меня свои дела, я не уверен, что у меня найдётся время сейчас.

UPD. Не заметил в первом посте содержимое после первого абзаца. Мой комментарий относился к исходному уравнению по условию задачи. Если вы правильно провели преобразование, то всё равно моя идея, которую я высказал в предыдущем абзаце этого поста, остаётся: надо раскрывать модули и смотреть, как будет при разных случаях сочетания значений $x$ и $a$. Это уже не квадратные, а линейные уравнения, поэтому там всё ещё проще. Но я не знаю, правильно ли вы провели преобразование.

[Combat Zone]

katzenelenbogen в сообщении #1664081 писал(а):

а у меня свои обязанности, я не уверен, что у меня найдётся время сейчас.

Ну так может, не торопиться уже, все-таки без малого десять лет прошло.