Нормальные подгруппы

[vanger]

Есть группа $G$, в которой есть нормальные подгруппы $N_1$ и $N_2$, причём $G/N_1$ проста. Надо показать, что $G/N_1$ изоморфно $N_2/(N_1 \cap N_2)$, а $G/N_2$ -- $N_1 / (N_1 \cap N_2)$.

Нетрудно показать, что $N_1 \cap N_2$ нормальна в $G$, в $N_1$ и в $N_2$ (т.к. что постановка вопроса вообще осмысленна). Но сильно дальше этого продвинуться не получилось. Основные мысли -- в сторону построения гомоморфизма из $G / N_1$ куда-нибудь, где можно будет воспользоваться тем, что ядро не собственное, ввиду простоты.

Ещё гомоморфизм $N_1 / (N_1 \cap N_2) \to G / N_1$, сопоставляющий классу спежности $n_1 (N_1 \cap N_2)$ класс смежности $n_1 N_1$, не выходит из головы. Но про него что-то вообще ничего внятного сказать не могу: ни про ядро, ни про образ.

Подскажите, что здесь можно сделать.

[AV_77]

vanger в сообщении #1005781 писал(а):

Подскажите, что здесь можно сделать.

Ничего. Это было бы так, если бы $G = N_1N_2$, что не всегда верно. Например, пусть $G = S_4$, $N_1 = A_4$ и $N_2 = V_4$. Тогда $S_4 / A_4$ - простая группа, но остальные условия не выполняются.

[vanger]

Точно! Спасибо!