Давление равно энергии? Разбудите меня.

[Teletranslator]

Курс физики И.В.Савельева, часть 1, страница 221 (Давление газа на стенку)

http://storage3.static.itmages.ru/i/15/ ... 59fb21.png
http://storage1.static.itmages.ru/i/15/ ... 11e5c9.png

Меня учили физике по этому учебнику. Решил заглянуть в него и вчитаться, и на четвёртой странице огорчился и залип. Ближе к концу четвёртой страницы начинаются чудеса.

Цитата:

...Произведение $n<\varepsilon_{post}>$ даёт суммарную энергию поступательного движения $n$ молекул. Таким образом, давление равно двум третям энергии постпатульного движения молекул, содержащихся в единице объёма газа.

Я ещё не знаю причин для того, чтобы давление было равно энергии. Откройте мне глаза, пожалуйста.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
Причина переноса:
Не сформулирован предмет обсуждения.
Оформите тему в соответствии с правилами форума:

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

Начальные сообщения любой темы должны четко и внятно формулировать предмет или вопрос, который предполагается обсудить. В противном случае тема будет закрыта или перемещена в карантин до уточнения предмета.

Оформите тему в соответствии с правилами форума и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вернул.

[arseniiv]

Teletranslator в сообщении #1006018 писал(а):

Откройте мне глаза, пожалуйста.

Размерность давления — $ML^{-1}T^{-2}$, энергии — $ML^2T^{-2}$. Очевидно, если поделить последнуюю на какой-то объём или помножить на концентрацию, что-то сложить и получится. На первом скане, если вчитаться, $n$ и определяется как концентрация [и это её распространённое обозначение].

Выражение в конце последней приведённой страницы, конечно, корявое. Может, автор заредактировался, не знаю.

[epros]

Teletranslator в сообщении #1006018 писал(а):

чтобы давление было равно энергии

Не энергии, а энергии в единице объёма.

[Munin]

Teletranslator в сообщении #1006018 писал(а):

Меня учили физике по этому учебнику.

Вообще-то положено называть автора, название, при необходимости - год или номер издания. А не просто приводить страницу.

Teletranslator в сообщении #1006018 писал(а):

Решил заглянуть в него и вчитаться, и на этой странице огорчился и залип.

Это я зелёный и чего-то не знаю, или в учебнике бредятина?

В учебнике всё правильно. И это довольно широко известный факт. Мне на него намекнули ещё в школе, предложив сравнить размерности давления $\text{Па}=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$ и плотности энергии $\dfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3}.$ Оказалось одно и то же! После этого я всегда относился к произведению $PV$ как к могущему обозначать энергию.

Но на самом деле, ситуация несколько сложнее и тоньше. Давление и энергия - одной размерности. Давление и энергия между собой пропорциональны - но не всегда! Всё дело в том, что здесь рассматривается идеальный газ из бесконечно маленьких ("точечных") молекул. Это идеализированная система, для которой некоторые законы получаются очень простыми и красивыми.

В реальности, соотношение между давлением и энергией может быть разным - в зависимости от других параметров вещества, таких как плотность и температура. Например, давайте рассмотрим жидкость. В ней молекулы расположены почти плотно - то есть, расстояние между молекулами настолько мало, что оно примерно равно размерам молекул. У газа сжимаемость описывается по закону Бойля-Мариотта: $PV=\mathrm{const}$ - то есть, давление растёт при сжатии по гиперболе, только от увеличения количества ударов в секунду молекулами о поршень. А в жидкости сжимаемость ведёт себя иначе - давление устремляется вверх в бесконечность при точке $V=V_0,$ которая соответствует объёму при совершенно плотной упаковке. (В реальности, молекулы можно ещё несколько "вдавить друг в друга", но с большим трудом.) Так что, давление начинает резко расти, а энергия - нет. И пропорциональность нарушается.

Другим случаем является случай очень больших скоростей - релятивистских, приближающихся к скорости света. Тогда нарушается формула для энергии $\varepsilon=\dfrac{mv^2}{2},$ и в пределе между давлением и энергией устанавливается новая связь: $p=\dfrac{1}{3}n\langle\varepsilon\rangle$ - которая выполняется либо в фотонном газе, либо в плазме Большого Взрыва.

Вообще, эта связь описывается так называемым уравнением состояния, которое используется в термодинамике и прочей теорфизике для однообразного описания законов самых разных состояний вещества, от сверххолодных до сверхгорячих, от сверхплотных до вакуума.

(Написано до помещения темы в "Карантин"...)

[Teletranslator]

Какая-то мысль у меня зародилась, сейчас осознаю.

epros в сообщении #1006111 писал(а):

Не энергии, а энергии в единице объёма.

В учебнике так не написано.

Munin в сообщении #1006123 писал(а):

После этого я всегда относился к произведению $PV$ как к могущему обозначать энергию.

Я не против этого, отнюдь.

Munin в сообщении #1006123 писал(а):

Давление и энергия - одной размерности.

Munin в сообщении #1006123 писал(а):

Мне на него намекнули ещё в школе, предложив сравнить размерности давления $\text{Па}=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$ и плотности энергии $\dfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3}.$ Оказалось одно и то же!

Вот сейчас у меня крышак точно поедет. Пусть из плотности энергии и энергии только одно имеет ту же размерность, что и давление, ладно?

[arseniiv]

Teletranslator в сообщении #1006159 писал(а):

В учебнике так не написано.

Если смотреть на вывод формулы и то, что скрывается за буквами, то там ровно это и написано.

Teletranslator в сообщении #1006159 писал(а):

Пусть из плотности энергии и энергии только одно имеет ту же размерность, что и давление, ладно?

Только одно и имеет.

[Teletranslator]

Всё, въехал. Площадная частота называется числом вместо того, чтобы сократить неважные для расчётов время и площадь в конце.\

Ну ОЧЕНЬ неприятное изложение.

[Anton_Peplov]

Teletranslator
Вы пропустили вот это:

Teletranslator в сообщении #1006018 писал(а):

содержащихся в единице объёма газа.

Энергия в единице объема - это уже не энергия, а плотность энергии. Так же как путь, пройденный в единицу времени, это уже не путь, а скорость.

[Munin]

Teletranslator в сообщении #1006159 писал(а):

усть из плотности энергии и энергии только одно имеет ту же размерность, что и давление, ладно? :shock:

Ну я сказал "давление", подразумевая пространственную плотность давления.

Если всё время хорошо понимать, у каких величин размерность плотности, и не путать их в формулах, то на словах можно говорить и короче. И в тех книжках, к которым я привык, так частенько делается. Говорят "ток", а подразумевают "вектор пространственной плотности электрического тока". Хотя вы правы, пока собеседник - начинающий, надо говорить строже.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1006123 писал(а):

В учебнике всё правильно. И это довольно широко известный факт. Мне на него намекнули ещё в школе, предложив сравнить размерности давления $\text{Па}=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$ и плотности энергии $\dfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3}.$

Извиняюсь за оффтоп. Если про вакуум говорят, что он обладает отрицательным давлением, то это тождественно, что он обладает отрицательной плотностью энергии? И как вообще понимать отрицательную плотность энергии? Так ли это, что отрицательная энергия обладает свойством не притяжения, а отталкивания?

[aa_dav]

мат-ламер в сообщении #1006283 писал(а):

И как вообще понимать отрицательную плотность энергии?

Да просто - предположим что мы сжимаем поршень с вакуумом и задаёмся вопросом сколько работы (т.е. энергии) нам на это придётся _затратить_? Обычное дело в термодинамике, когда под отрицательной работой мы подразумеваем что это не мы, а над нами совершили работу.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #1006283 писал(а):

Если про вакуум говорят, что он обладает отрицательным давлением, то

То сначала надо смотреть уравнение состояние вакуума. Munin не зря сказал, что уравнения состояния разные бывают.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1006283 писал(а):

Извиняюсь за оффтоп. Если про вакуум говорят, что он обладает отрицательным давлением, то это тождественно, что он обладает отрицательной плотностью энергии?

Нет. Там ситуация навороченней: есть некоторый тензор, отдельные компоненты которого называются энергией (на самом деле, плотностью энергии) и давлением, примерно так:

$$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\varepsilon&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\\\end{pmatrix}.$$

Так вот, для обычной материи $0<p\ll\varepsilon$ (потому что в $\varepsilon$ входит огроменная плотность энергии покоя $d(mc^2)/dV$), для фотонного газа $p=\varepsilon/3>0,$ а вот для вакуума $p=-\varepsilon<0.$

P. S. Вот функция $p(\varepsilon)$ в данном случае называется уравнением состояния.

P. P. S. И ещё, внимание, буква $\varepsilon$ в этом сообщении имеет другой смысл, чем выше в теме, - тот, который принят в ОТО, КТП и космологии. Грубо говоря, $\varepsilon_\text{здесь}=(n\langle\varepsilon\rangle)_\text{в предыдущих сообщениях}.$

мат-ламер в сообщении #1006283 писал(а):

И как вообще понимать отрицательную плотность энергии? Так ли это, что отрицательная энергия обладает свойством не притяжения, а отталкивания?

Плотность энергии в вакууме положительна, но отрицательная - да, обладала бы свойством отталкивания. Но в ОТО притяжением обладает не только энергия $\varepsilon,$ но и давление $p$ (поскольку берётся след и ещё пара действий, то в итоге там получается выражение $\varepsilon+3p$). И вот тогда отрицательное давление выходит на сцену и создаёт отталкивание.

aa_dav в сообщении #1006286 писал(а):

Да просто - предположим что мы сжимаем поршень с вакуумом и задаёмся вопросом сколько работы (т.е. энергии) нам на это придётся _затратить_? Обычное дело в термодинамике, когда под отрицательной работой мы подразумеваем что это не мы, а над нами совершили работу.

А вот это неправильный ответ. Во многих разделах физики энергию нельзя определить абсолютно. Можно определить только разность энергии. Но не в ОТО. В ОТО важна именно абсолютная величина энергии, поскольку постоянная добавка к энергии - создаёт разные эффекты тяготения, различаемые по физическим последствиям.

Ну и энергия вакуума, в этом смысле, конечно же, не отрицательна. Речь о совсем-совсем другой энергии и даже о совсем-совсем другом вакууме. (Правда, там она тоже положительна, отрицательно давление.)