Разложение функции интеграла в ряд Маклорена

[Enne]

Brukvalub а можно про второй способ решения задачи поподробнее?
Приблизительно так?
функция не определена в t=0, предел в t=0 равен 1.
Раскадываем функцию в ряд Маклорена как нечетную функцию (то есть члены x в четных степенях присутствовать не будут).

Получаем:
$F(x)=F(0)+F'(0)x+F'''(0)\frac{x^3}{3!}+F^5(0)\frac{x^5}{5!}+o(x5)$

F(0)=0, для получения F'(x)=sinxx которая при x→0 равна 1. F'(0)=1 .
и так далее, получаем такой же результат!

[Brukvalub]

Пока я не смог прочесть набранную Вами формулу - она у меня неверно транслируется

[Enne]

$f(x)=x-\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^5}{5!5}-\frac{x^7}{5!7}$
Ой, а какого тогда порядка получится о малое? Я это никогда не понимала.

[Brukvalub]

Видно, что остаточный член можно записать в виде

\[\bar \bar o(x^6 )\]

или

\[O(x^7 )\]

[Enne]

понятно, спасибо большое за отзывчивость. Про малые и большие о я что-то совсем мало знаю, надо поискать информацию, чтобы лучше ориентироваться.
В другом варианте на экзамене была представлена задача $\int^x_9\frac{sen(t^2)}{t}$, разложить до 8 порядка, здесь, по-видимому, надо было заменить функцию косинусом?

[Brukvalub]

Я думаю, что эту задачу нужно решать точно так же, как и только что рассмотренную.

[Enne]

$sent= t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}$

$sent^2=t^2-\frac{t^6}{3!}+\frac{t^1^0}{5!}$
$\frac{sent^2}{t}=t-\frac{t^5}{3!}+\frac{t^9}{5!}$

Итак, вопрос. Где взять восьмой порядок?

[Бодигрим]

А он у вас и так присутствует. Правда с нулевым коэффициентом.

И научитесь писать в формулах синус. Почему у вас все время $sen$ вместо $\sin$ получается?

[Enne]

Бодигрим, это я по привычке, здесь синус именно так и пишут.
Присутствует с нулевым коэффициентом? То нужно до 6 порядка раскладывать, а потом что? (простите, первый раз с таким случаем встретилась).

[Brukvalub]

Enne писал(а):

То нужно до 6 порядка раскладывать, а потом что?

А потом

\[\bar \bar o(x^8 )\]

, можно даже

\[\bar \bar o(x^9 )\]

[Enne]

Brukvalub, а не расскажите про второй способ нахождения ряда? про который Вы говорили с самого начала. Спасибо!

[AD]

$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$. Известен вам такой факт? Вот и хорошо, теперь вы знаете первую производную от вашей функции, а, значит, и все производные, и можете смело выписывать ряд. Это гораздо проще.

[Brukvalub]

Я намекал именно на тот второй метод, начало которого только что выше описал AD.

[Алексей К.]

Попробую про $o(x)$ на пальцах (т.е. пальцами по клавиатуре).
Равенство $f(x)=o(x^n)$ --- некая условность для описания того, как ведёт себя функция $f(x)$ по сравнению с $x^n$ при малых $x$. Почему сравнивают именно с $x^n$? Нет, можно сравнивать и с другими функциями, и это часто случается. Эта мера попроще, поговорим на её примере.
Если $x$ принимает значения 1., 0.1, 0.01, то $x^2$ --- значения 1., 0.01, 0.0001. А $x^8$, например, --- замучаемся эти нолики выписывать!
Хорошо, скажете Вы, а почему коэффициентом это не регулировать? Возьмём, например, $f_1(x)=0.01x$ и $f_2(x)=100x^2$. Первая будет убывать гораздо скорее при $x\to 0$! Нет, не будет. Рано или поздно $f_2$ обгонит $f_1$. Обгонит в смыле стремления к нулю. Обгонит, несмотря на то, что мы пытаемся помешать $f_2$, искусственно её увеличивая, и помогать $f_1$, искусственно её уменьшая. Просто случится это где-то, когда $x$ уже стало примерно 0.01, и рассматривать это соревнование нам, возможно, прийдётся под микроскопом.

Это небольшое предисловие, которое, надеюсь, поможет осилить статью "O большое и o малое".

[Архипов]

Enne писал(а):

В другом варианте на экзамене была представлена задача , разложить до 8 порядка, здесь, по-видимому, надо было заменить функцию косинусом?

Уже вопрос прояснен.
Просто дополняю
для примера $\int^a_0\frac{sin(t^2)}{t}dt$ предел а не больше 1, потому хорошее приближение получается таким:
$lim(sin(t^2)/t)=t$
$\int^a_0\{tdt} = t^2/2=a^2/2$