Уменьшение до базиса

[AGu]

Пусть $X$ — произвольное векторное пространство.

Как известно, всякое линейно независимое подмножество $X$
можно увеличить до базиса пространства $X$,
и этот факт легко доказывается с помощью леммы Цорна.
Справедливо ли следующее «двойственное» утверждение
и безошибочно ли его «двойственное» доказательство?

Теорема.  Всякое порождающее* подмножество $X$
можно уменьшить до базиса пространства $X$.

Доказательство.  Пусть $\mathcal G$ — упорядоченное по включению
множество всех порождающих подмножеств $X$.
Поскольку всякая цепь $\{A_i:i\in I\}\subset\mathcal G$
имеет нижнюю границу $\bigcap_{i\in I}A_i\in\mathcal G$,
согласно лемме Цорна любой элемент $A\in\mathcal G$
можно уменьшить до минимального $B\in\mathcal G$.
Такое множество $B$ является базисом пространства $X$,
поскольку оно порождающее (так как принадлежит $\mathcal G$)
и линейно независимое (так как минимально).  $\square$

__________
*  Подмножество $A\subset X$ называется порождающим,
   если линейная оболочка множества $A$ равна $X$.

P.S. Хотел сначала разместить в головоломках, но передумал:
студентам это может быть полезно, а остальным — забавно.

[Anton_Peplov]

Утверждение, очевидно, справедливо. Доказательство не проверял. Зачем это доказывать так странно? Всякое линейное пространство является линейной оболочкой собственного базиса. Это факт номер раз. Если множество $A$ не содержит базиса, то в $X$ найдется вектор, не являющийся линейной комбинацией элементов $A$, а значит, $A$ не может быть порождающим. Мы получили, что:
1) всякое порождающее множество содержит базис;
2) базис является порождающим множеством.
Теорема доказана.

[patzer2097]

В доказательстве AGu неверно, что $\bigcap_{i\in I}A_i\in\mathcal G$. В самом деле, удаляя из начала набора

$$e_1,e_1+e_2,e_3,e_3+e_1,e_3+e_2,e_3+e_2+e_1,e_4,e_4+e_1,...$$

любое конечное число элементов, мы будем оставаться с порождающим множеством пространства, натянутого на $e_1,e_2,e_3,...$.
В доказательстве Anton_Peplov непонятно, почему "если множество $A$ не содержит базиса, то в $X$ найдется вектор, не являющийся линейной комбинацией элементов $A$". Мне кажется, такое доказательство в принципе не может быть верным, т.к. не использует AC ни в какой форме.

Само же доказываемое утверждение доказывается стандартным способом: пусть $I$ - набор всех линейно независимых подмножеств порождающего множества $P$. В силу леммы Цорна $I$ содержит максимальный по включению элемент $B$; если $B$ не порождает элемент $p\in P$, то множество $B\cup\{p\}$ линейно независимо, что противоречит максимальности $B$. Значит, множество $B$ порождает все элементы из $P$ и потому все элементы исходного пространства.

Кстати, можно еще отметить, что утверждение "всякое порождающее подмножество можно уменьшить до минимального" оказывается, вообще говоря, неверным для порождающих множеств групп, модулей над кольцами итд.

[AGu]

patzer2097, Вы правы, ошибка успешно обнаружена. Спасибо.

Исчезает ли ошибка в случае конечномерного пространства $X$?

Anton_Peplov в сообщении #1005575 писал(а):

Зачем это доказывать так странно?

Вы слишком мягко выразились. Странно называть странным заведомо ошибочное «доказательство».

Кстати, идея этого «доказательства» принадлежит не мне. Я случайно обнаружил его на просторах Интернета. (При желании можете сами его откопать или запросить у меня через ЛС. Здесь я ссылку давать не буду, чтобы не рекламировать ненадежный ресурс.)

[patzer2097]

AGu в сообщении #1005593 писал(а):

Исчезает ли ошибка в случае конечномерного пространства $X$?

Только если поле конечное или размерность нулевая.

[AGu]

Ага. В частности, то «доказательство» не работает даже в случае $X=\mathbb R$.
Тем не менее его автор в ответ на соответствующую критику заявил,
что в конечномерном случае все в порядке, и ничего исправлять не стал.
Вот такие бывают ресурсы...

[Anton_Peplov]

patzer2097 в сообщении #1005589 писал(а):

В доказательстве Anton_Peplov непонятно, почему "если множество $A$ не содержит базиса, то в $X$ найдется вектор, не являющийся линейной комбинацией элементов $A$".

Определение. Базисом пространства $X$ называется такое $B \subset X$, что каждый элемент $X$ представим в виде линейной комбинации элементов $B$, причем единственным образом.

Теорема. Если каждый элемент $X$ представим в виде линейной комбинации элементов $A \subset X$, то $A$ содержит базис.

Разве нет?

[AGu]

Anton_Peplov, все так, но то Ваше «доказательство» тоже доказательством не является. Критика patzer2097 остается в силе.

[Anton_Peplov]

AGu
Не понимаю.

Anton_Peplov в сообщении #1005601 писал(а):

Теорема. Если каждый элемент $X$ представим в виде линейной комбинации элементов $A \subset X$, то $A$ содержит базис.

Это теорема или нет? Если это доказанная теорема, то из того, что $A$ не содержит базиса, вытекает, что в $X$ найдется элемент, не представимый в виде линейной комбинации элементов $A$.
Или задача заключается в том, чтобы доказать эту самую теорему?

[Evgenjy]

AGu в сообщении #1005570 писал(а):

Подмножество $A\subset X$ называется порождающим,
если линейная оболочка множества $A$ равна $X$

Лучше использовать существующий термин: "полная система векторов". И еще. В вашем доказательстве Вы используете то, что базис существует. В сою очередь существования базиса доказывается при помощи леммы, из которой ваше утверждение следует сразу.

[AGu]

Anton_Peplov в сообщении #1005604 писал(а):

Или задача заключается в том, чтобы доказать эту самую теорему?

Именно.

Evgenjy в сообщении #1005606 писал(а):

Лучше использовать существующий термин: "полная система векторов".

Я ж говорю, доказательство не мое. Но все равно навязывать вкусовой выбор — не есть гут. Термин «полная система» (несмотря на его расхожесть) тоже далеко не всем нравится, и причины вполне логичны. Это вопрос вкуса, да и оффтоп.

Evgenjy в сообщении #1005606 писал(а):

И еще. В вашем доказательстве Вы используете то, что базис существует.

Разве? Я этого не вижу.

Evgenjy в сообщении #1005606 писал(а):

В сою очередь существования базиса доказывается при помощи леммы, из которой ваше утверждение следует сразу.

Это зависит от учебника/курса.

[Anton_Peplov]

AGu в сообщении #1005612 писал(а):

Именно.

Ах, вот в чем дело. Ну извиняйте, такие вещи мне доказывать лень.

[AGu]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1005613 писал(а):

Ну извиняйте, такие вещи мне доказывать лень.

Рад бы простить, да не за что.

[grizzly]

patzer2097 в сообщении #1005589 писал(а):

Мне кажется, такое доказательство в принципе не может быть верным, т.к. не использует AC ни в какой форме.

Вот по этому аргументу хотел бы уточнить. Нужна ли AC для доказательства рассматриваемого двойственного утверждения? Или хватит каких-нибудь ультрафильтров, что сколько-то слабее?

[Evgenjy]

AGu в сообщении #1005612 писал(а):

Evgenjy в сообщении #1005606

писал(а):
И еще. В вашем доказательстве Вы используете то, что базис существует.
Разве? Я этого не вижу.

Извините за невнимательность. Это замечание не к Вам, а к Anton_Peplov.