геометрическая прогрессия, для абитуриентов

[Inconel]

Здравствуйте!
Помогите решить задачу на прогрессию, как будто ничего сложного но не получается.
третий член геометрической прогрессии больше первого на 10, а сумма второго и четвертого её членов равна 30. найти сумму восьми первых членов прогрессии.


я составила систему уравнений получилось
$b_3 - b_1=10$
$b_ 2 + b_4 = 30 b_1q^2 -b_1 =10 b_1q + b_1q^3 = 30 b_1(q^2 - 1)=10 b_1q(1 + q^2) = 30$
делю второе уравнение на первое получаю
$q(1 + q^2)/(q^2 - 1) =3$

дальше при решении явно что то не так
помогите пожалуйста.

[Бодигрим]

Все правильно. Осталось домножить обе части на $q^2-1$ и привести подобные. Вы получите уравнение $q^3-3q^2+q+3=0$. Его придется решать по формулам Кардано - красивых корней там нет. Вы точно ничего не напутали в условии?

[Алексей К.]

Действительно, ужас какой-то получается! Давайте, что ли, ещё приведём формулку для искомой суммы, может чего-то увидится...
Заметьте, что если Вы каждую свою формулку окружите долларами --- вот так:

$q(1 + q^2)/(q^2 - 1) =3$

то, даже если и не решим, получится удивительно красиво!

Добавлено попозже...

Да уж, сумма вряд ли поможет. Лучше поискать ошибку в условии.

[PAV]

Алексей К. писал(а):

получится удивительно красиво!

А также будет удовлетворять правилам форума.

[Inconel]

Спасибо всем большое, я подозревала , что тут возможно опечатка, но все таки сомневалась.
может поможете еще с одной задачкой? вернее проверьте правильно я решаю?
задана арифметическая прогрессия .$a_1 , a_2, a_3 ... $с разностью d. и геометрическая прогрессия со знаменателем q $ b_1 ,b_2 , b_3 ... $
Найти q, если
$a_1 =b_1 $ (1)
$a_1 + a_2 - 3a_3 = b_1 + b_2$ (2)
$a_1+a_2+ a_3 = b_1 + b_2 + b_3 $(3)
решаю так сначала выражаю все члены арифметической прогрессии через $a_1$
$a_1 $
$a_2 =a_1+ d$
$a_3 = a_1 + 2d$
затем выражаю все значения членов геометрической прогрессии через$a_1 $
$a_1+a_2+ a_3 = a_1 + (a_1+ d) +(a_1 + 2d) = 3а_1+ 3 d$
из (2) $a_1+a_2 - 3 a_3 = a_1 + a_1+ d - 3а_1 - 6d = - a_1 - 5d $
$b_1 + b_2 = -a_1 - 5d так как $b_1= a_1 $
$b_2 = -2 a_1 - 5 d $
$b_3 = a_1+a_2+ a_3 - b_1 -b_2 = 3а_1+ 3d + a_1 +5d = 4 a_1 +8 d $

теперь , чтобы получить знаменатель нужно разделить.$b_2 / b_1$
$q = b_2 / b_1 =( -2 а_1 - 5 d)/ a_1 = -2 - 5 d /a_1 $
правильно? а зачем тогда дано.$ b_3 $может я ошиблась где то

[Brukvalub]

Inconel писал(а):

может я ошиблась где то

Прежде всего Вы ошиблись, считая, что участники Форума будут испытывать удовольствие, разбирая Ваши каракули. Такое неуважение к другим сильно тормозит желание помогать Вам.

[Бодигрим]

Да, правильно. Но можно записать еще одно выражение для $q={4 a_1 +8 d\over -2 а_1 - 5 d}$. Было бы неплохо приравнять их, найти связь между $a_1$ и $d$ и выразить $q$ только через $d$.

[PAV]

PAV:

Тема переезжает в карантин. Когда автор поправит оформление своих формул, как ему уже неоднократно мягко намекнули, пусть сообщит любому модератору. Тогда тема вернется обратно и можно будет продолжать обсуждение.

[PAV]

Возвращено

[Inconel]

спасибо всем за помощь, с примерами разобралась.

[незваный гость]

Inconel писал(а):

правильно?

По-моему, нет.

У нас есть четыре неизвестных и три уравнения. Поэтому должно быть возможно выразить через одну переменную, или вовсе как число.

Пусть у нас арифметическая прогрессия $a, a+d, a+2d…$, геометрическая $a, a q, a q^2$ (мы использовали уравнение (1)). Тогда $2a + 5 d + a q = 0$ (2a), и $3a + 3d = a + a q + a q^2$ (3a).

Выражаем из первого уравнения $d$ (через $a$ и $q$) и подставляем во второе уравнение. После упрощения получаем три варианта ответа, из них два — с конкретными значениями $q$.

[Inconel]

сначала я решила так:
$q = b_2/ b_1 = b_3 / b_2$
$ (-2a_1 - 5d)/a_1 = 4a_1 + 8d/ (- 2a_1- 5d)$
из этого соотношения получила
$a = - 25d/12 подставляю значение a в $ q = -2 - 5d / a = 2/5
а теперь пересчитала как подсказал незваный гость получила уравнение:
$15a - 3aq - 6a = 5a + 5aq + 5a^2$
$a(5q^2 + 8q -4) = 0$
$q_1 = -1$ $q_2 = 2/5$
получилось тоже самое, только где-то в первом случае одно значение потеряла$q_1 = -1$ а какие три варианта? q = 0 еще ?

[незваный гость]

Третий вариант: $a_1 = b_1 = d = 0 $. Самый скучный, и тем не менее...

И в арифметике у Вас где-то ошибка… Ответы не сходятся.

[Inconel]

незваный гость писал(а):

:evil:
И в арифметике у Вас где-то ошибка… Ответы не сходятся.

Завтра пересчитаю, главное принцип решения поняла. Спасибо.