Об одном условии для базы многообразия

[Dmitry Tkachenko]

Пусть $(X, \tau)$ --- $n$-мерное топологическое многообразие, т.е. такое топологическое пространство, что оно хаусдорфово, локально евклидово и обладает счетной базой. В качестве базы топологии рассмотрим семейство открытых подмножеств $\mathcal{B}=\{U_{\alpha}\subset X\colon U_{\alpha}\cong (0,1) \}.$

Докажите, что, не ограничивая общности, в качестве базы можно рассматривать семейство открытых подмножеств $\mathcal{P}=\{V_{\alpha}\subset X\colon V_{\alpha}\cong (0,1), \overline{V}_{\alpha}\cong [0,1]\}.$

Замечание: для каждого $\alpha$ гомеоморфизм $\varphi_{\alpha} \colon [0,1]\to \overline{V}_{\alpha}$ должен иметь сужение $\varphi_{\alpha}\Big|_{(0,1)} \colon (0,1)\to V_{\alpha}.$

[AGu]

Кажется, я что-то недопонял... Рассматривается случай $n=1$, да?
Как бы то ни было, задача выглядит подозрительно простой.

Для каждого $\alpha$ имеется гомеоморфизм $\psi_\alpha\colon(0,1)\to U_\alpha$.
Для каждого натурального $n$ положим $I_n:=\bigl(\tfrac1n,1-\tfrac1n\bigr)$, $\bar I_n:=\bigl[\tfrac1n,1-\tfrac1n\bigr]$
и рассмотрим какой-нибудь гомеоморфизм $\chi_n\colon[0,1]\to\bar I_n$.
Для каждой пары $(\alpha,n)$ положим $V_{\alpha,n}:=\psi_\alpha[I_n]$ и $\varphi_{\alpha,n}:=\psi_\alpha\circ\chi_n$.
Получаем искомую (счетную) базу и требуемый «атлас».

Либо я и впрямь что-то недопонял или где-то ошибся, либо эта задача не тянет на олимпиадную.

[Dmitry Tkachenko]

AGu, да, рассматривается случай $n=1.$

$\varphi_{\alpha, n} \big([0,1]\big)=\overline{V}_{\alpha,n}$, но ведь это --- замыкание $V_{\alpha,n}$ в $U_{\alpha}.$
Почему оно совпадает с замыканием $V_{\alpha,n}$ в $X$ ?
Для простоты, почему $\operatorname{cl}_{U_{\alpha}}V_{\alpha,n} = \operatorname{cl}_{X}V_{\alpha,n}$ ?

[AGu]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1005127 писал(а):

$\varphi_{\alpha, n} \big([0,1]\big)=\overline{V}_{\alpha,n}$, но ведь это --- замыкание $V_{\alpha,n}$ в $U_{\alpha}.$
Почему оно совпадает с замыканием $V_{\alpha,n}$ в $X$ ?

Например, потому, что $\varphi_{\alpha,n}\bigl([0,1]\bigr)$ компактно (как непрерывный образ компакта) и, следовательно, замкнуто в $X$.

[Dmitry Tkachenko]

AGu, да, например так, (это из-за хаусдорфовости).

[AGu]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1005459 писал(а):

это из-за хаусдорфовости

Да, без этого условия компактность не гарантирует замкнутость.