2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 21:46 
Здравствуйте, решая задачу о полноте достаточной статистики пришел к интегралу $\int\limits_{0}^{1} f(x)x^{\theta -1}  dx$

Необходимо показать, что для любого $\theta > 0$ интеграл равен нулю тогда и только тогда когда $f(x)=0$
Где-то слышал, что это следует из скалярного произведения, но очень бы не хотелось это использовать.
Я пытаюсь решить задачу следующим образом:
Рассматриваю пока просто случай, когда функция меняет знак только один раз в точке $a$.Тогда для любого разбиения отрезка $[0;a]$ на не пересекающиеся интервалы найдется разбиение отрезка $[a;1]$ такое что интегралу $\int\limits_{0}^{x1} f(x)x^{\theta -1}  dx$ найдется отрезок $\int\limits_{a}^{b1} f(x)x^{\theta -1}  dx$ что интегралы будут равны по модулю. Рассматриваю для $\theta=1$ и $\theta=2$ получаю 2 равенства
$\int\limits_{0}^{a} f(x)x  dx  - \int\limits_{a}^{1} f(x)x  dx=0$
$\int\limits_{0}^{a} f(x)  dx - \int\limits_{a}^{1} f(x)  dx =0$

Вроде бы исходя из них должно быть как-то очевидно, что $f(x)$ равна нулю, ведь я функцию в каждой точке умножаю на некий коээфицент меньше единицы, пробовал как-то складывать и вычитать эти равенства, но что-то не пришел к результату, подскажите пожалуйста

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 21:50 
$f$, надо думать, неотрицательна. Чисто по контексту. О чем Вы не упомянули. Иначе это просто неверно.
Если так, то это стандартный результат из теории меры и интеграла Лебега. Действительно, будет равна нулю почти всюду.

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 21:50 
Аватара пользователя
loshka в сообщении #1004561 писал(а):
интеграл равен нулю тогда и только тогда когда $f(x)=0$ для любого $\theta > 0$

вероятно, кванторы такие: интеграл равен нулю для любого $\theta>0$ в том и только в том случае, когда $f=0$

-- Чт апр 16, 2015 21:52:08 --

Otta в сообщении #1004564 писал(а):
$f$, надо думать, неотрицательна

с чего бы вдруг? Там же $\forall \theta>0$

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 21:53 
:D Что для любого $\theta$?

loshka, правда что, навесьте кванторы куда надо, а то так мы не договоримся.

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 21:55 
да, перепутал квантары, эм, так $f(x)$ может быть отрицательна, почему при таком раскладе это неверно?

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 22:00 
Аватара пользователя
loshka
для любого $\theta>1$ производная интеграла по $\theta$ равна нулю

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 22:11 
alcoholist

Эм, как-то я просто не вижу, что из того что $F'(\theta)=\int\limits_{0}^{1} f(x)x^{\theta -1}\operatorname{Ln}{(x)}  dx=0$ что-то следует :facepalm:

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 23:25 
Аватара пользователя
loshka в сообщении #1004570 писал(а):
да, перепутал квантары, эм, так $f(x)$ может быть отрицательна, почему при таком раскладе это неверно?
$\theta = 1>0; \quad  f(x) = (x-0.5) \not\equiv  0$

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 23:38 
я вообще условие полноты написал мягко говоря написал не правильно, надо перестать заниматься ерундой и самому искать ответы на простые вопросы

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 23:44 
Вы кванторы расставили бестолково, отсюда и все непонятки пошли. Самому, конечно, лучше.
А так - это ж преобразование Меллина. Ну и воспользуйтесь его свойствами.

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 23:48 
Аватара пользователя
И все-таки, почему нужно отказаться от стандартной идеи полных систем? Из условия задачи получается, что, скажем, в $L_2[0 ; 1]$ исследуемая функция ортогональна полной системе соответствующим образом модифицированных многочленов Лежандра, и тогда рассматриваемая функция должна быть нулем в этом пространстве.

 
 
 
 Re: помогите с интегралом
Сообщение16.04.2015, 23:51 
:) Так совсем лепота. :D

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group