помогите с интегралом

[loshka]

Здравствуйте, решая задачу о полноте достаточной статистики пришел к интегралу $\int\limits_{0}^{1} f(x)x^{\theta -1} dx$

Необходимо показать, что для любого $\theta > 0$ интеграл равен нулю тогда и только тогда когда $f(x)=0$
Где-то слышал, что это следует из скалярного произведения, но очень бы не хотелось это использовать.
Я пытаюсь решить задачу следующим образом:
Рассматриваю пока просто случай, когда функция меняет знак только один раз в точке $a$.Тогда для любого разбиения отрезка $[0;a]$ на не пересекающиеся интервалы найдется разбиение отрезка $[a;1]$ такое что интегралу $\int\limits_{0}^{x1} f(x)x^{\theta -1} dx$ найдется отрезок $\int\limits_{a}^{b1} f(x)x^{\theta -1} dx$ что интегралы будут равны по модулю. Рассматриваю для $\theta=1$ и $\theta=2$ получаю 2 равенства
$\int\limits_{0}^{a} f(x)x dx - \int\limits_{a}^{1} f(x)x dx=0$
$\int\limits_{0}^{a} f(x) dx - \int\limits_{a}^{1} f(x) dx =0$

Вроде бы исходя из них должно быть как-то очевидно, что $f(x)$ равна нулю, ведь я функцию в каждой точке умножаю на некий коээфицент меньше единицы, пробовал как-то складывать и вычитать эти равенства, но что-то не пришел к результату, подскажите пожалуйста

[Otta]

$f$, надо думать, неотрицательна. Чисто по контексту. О чем Вы не упомянули. Иначе это просто неверно.
Если так, то это стандартный результат из теории меры и интеграла Лебега. Действительно, будет равна нулю почти всюду.

[alcoholist]

loshka в сообщении #1004561 писал(а):

интеграл равен нулю тогда и только тогда когда $f(x)=0$ для любого $\theta > 0$

вероятно, кванторы такие: интеграл равен нулю для любого $\theta>0$ в том и только в том случае, когда $f=0$

-- Чт апр 16, 2015 21:52:08 --

Otta в сообщении #1004564 писал(а):

$f$, надо думать, неотрицательна

с чего бы вдруг? Там же $\forall \theta>0$

[Otta]

Что для любого $\theta$?

loshka, правда что, навесьте кванторы куда надо, а то так мы не договоримся.

[loshka]

да, перепутал квантары, эм, так $f(x)$ может быть отрицательна, почему при таком раскладе это неверно?

[alcoholist]

loshka
для любого $\theta>1$ производная интеграла по $\theta$ равна нулю

[loshka]

alcoholist

Эм, как-то я просто не вижу, что из того что $F'(\theta)=\int\limits_{0}^{1} f(x)x^{\theta -1}\operatorname{Ln}{(x)} dx=0$ что-то следует

[Dan B-Yallay]

loshka в сообщении #1004570 писал(а):

да, перепутал квантары, эм, так $f(x)$ может быть отрицательна, почему при таком раскладе это неверно?

$\theta = 1>0; \quad f(x) = (x-0.5) \not\equiv 0$

[loshka]

я вообще условие полноты написал мягко говоря написал не правильно, надо перестать заниматься ерундой и самому искать ответы на простые вопросы

[Otta]

Вы кванторы расставили бестолково, отсюда и все непонятки пошли. Самому, конечно, лучше.
А так - это ж преобразование Меллина. Ну и воспользуйтесь его свойствами.

[Brukvalub]

И все-таки, почему нужно отказаться от стандартной идеи полных систем? Из условия задачи получается, что, скажем, в $L_2[0 ; 1]$ исследуемая функция ортогональна полной системе соответствующим образом модифицированных многочленов Лежандра, и тогда рассматриваемая функция должна быть нулем в этом пространстве.

[Otta]

:) Так совсем лепота.