2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 13:23 


28/10/14
64
Здравствуйте!

Дан ряд $\[\sum\limits_{n = 0}^\infty  {({n^2} + 4n + 3){x^{n + 1}}} \]$, нужно найти его сумму.

Я нашел область сходимости

$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {{{(n + 1)}^2} + 4(n + 1) + 3} \right){x^{n + 2}}}}{{\left( {{n^2} + 4n + 3} \right){x^{n + 1}}}}} \right| = \left| x \right| < 1 \Leftrightarrow  - 1 < x < 1\]$

Но как найти сумму я не могу предположить. При дифференцировании по x ряд только усложняется. Подскажите пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А Вы продифференцируйте геометрическую прогрессию, и ещё раз продифференцируйте. Может, натолкнёт на идею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 14:23 


28/10/14
64
Евгений Машеров

Дважды проинтегрировал свой общий член ряда, получилось $\[\frac{{(n + 1){x^{n + 3}}}}{{n + 2}}\]$. Выглядит конечно лучше, но как быть дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Раскройте скобки, получите три ряда, каждый из которых тривиально суммируется интегрированием, если вовремя умножать и делить на степень переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 14:39 


28/10/14
64
Brukvalub

У меня возник другой вопрос. Wolfram Alpha пишет, что данный ряд расходится при $\[\left| x \right| < 1\]$, что как раз является областью сходимости ряда, соответственно, сумма ряда - бесконечность?

Извиняюсь, ошибка. Поторопился. Игнорируйте сообщение выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
veez в сообщении #1004150 писал(а):
...
Извиняюсь, ошибка. Поторопился. Игнорируйте сообщение выше.

Не хочу и не буду игнорировать, выше находится мое правильное сообщение. :twisted:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 14:54 


28/10/14
64
Brukvalub

Извините, а можно на одном из примеров показать ваше суммирование интегрированием? Через Wolfram я нашел суммы, но почему они равны тому что я получил, не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Гуглите, это стандартный прием из методичек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Представьте ряд в виде суммы трёх рядов. В одном коэффициент при иксах квадрат от n, в другом n, в третьем константа. Третий - обычная геометрическая прогрессия. Его сумма известна. Если мы прогрессию продифференцируем по x, получим ряд, очень похожий на второй. Его сумма получится дифференцированием суммы прогрессии. Этот ряд можно ещё раз продифференцировать, и опять...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение15.04.2015, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Но в данном случае, конечно, проще использовать разложение квадратного трехчлена на множители. Если вынести за знак суммы $x^3$, то останется точная производная еще от одного ряда. Если и в нем вынести подходящую степень $x$, будет точная производная геометрической прогрессии. Итого два дифференцирования и два умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение16.04.2015, 01:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я другое скажу:

veez в сообщении #1004135 писал(а):
Я нашел область сходимости

А нафига Вы её искали-то?.. Какое отношение значение суммы имеет к области сходимости?...

(это безотносительно к предыдущим рекомендациям, конечно; но и думать тоже иной раз бывает полезно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение16.04.2015, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Нашел и ну и ладно, жалко что ли? :D
Зато лишний раз поупражнялся

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение16.04.2015, 02:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1004310 писал(а):
Зато лишний раз поупражнялся

упражняться не думаючи зачем -- вредно абсолютно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму функционального ряда
Сообщение16.04.2015, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

Мне тоже сразу подумалось про "а зачем?". Но тут же возникла гипотеза подходящей мотивации -- чтобы не попасть в карантин за отсутствие попыток решения. Если так и было, то демонстрация собственных усилий и понимания теоретического минимума выглядит вполне уместной в данном разделе (и, как видим, нужный результат был достигнут).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group