Найти сумму функционального ряда

[veez]

Здравствуйте!

Дан ряд $\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {({n^2} + 4n + 3){x^{n + 1}}} \]$, нужно найти его сумму.

Я нашел область сходимости

$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {{{(n + 1)}^2} + 4(n + 1) + 3} \right){x^{n + 2}}}}{{\left( {{n^2} + 4n + 3} \right){x^{n + 1}}}}} \right| = \left| x \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\]$

Но как найти сумму я не могу предположить. При дифференцировании по x ряд только усложняется. Подскажите пожалуйста!

[Евгений Машеров]

А Вы продифференцируйте геометрическую прогрессию, и ещё раз продифференцируйте. Может, натолкнёт на идею.

[veez]

Евгений Машеров

Дважды проинтегрировал свой общий член ряда, получилось $\[\frac{{(n + 1){x^{n + 3}}}}{{n + 2}}\]$. Выглядит конечно лучше, но как быть дальше?

[Brukvalub]

Раскройте скобки, получите три ряда, каждый из которых тривиально суммируется интегрированием, если вовремя умножать и делить на степень переменной.

[veez]

Brukvalub

У меня возник другой вопрос. Wolfram Alpha пишет, что данный ряд расходится при $\[\left| x \right| < 1\]$, что как раз является областью сходимости ряда, соответственно, сумма ряда - бесконечность?

Извиняюсь, ошибка. Поторопился. Игнорируйте сообщение выше.

[Brukvalub]

veez в сообщении #1004150 писал(а):

...
Извиняюсь, ошибка. Поторопился. Игнорируйте сообщение выше.

Не хочу и не буду игнорировать, выше находится мое правильное сообщение.

[veez]

Brukvalub

Извините, а можно на одном из примеров показать ваше суммирование интегрированием? Через Wolfram я нашел суммы, но почему они равны тому что я получил, не пойму.

[Brukvalub]

Гуглите, это стандартный прием из методичек.

[Евгений Машеров]

Представьте ряд в виде суммы трёх рядов. В одном коэффициент при иксах квадрат от n, в другом n, в третьем константа. Третий - обычная геометрическая прогрессия. Его сумма известна. Если мы прогрессию продифференцируем по x, получим ряд, очень похожий на второй. Его сумма получится дифференцированием суммы прогрессии. Этот ряд можно ещё раз продифференцировать, и опять...

[ex-math]

Но в данном случае, конечно, проще использовать разложение квадратного трехчлена на множители. Если вынести за знак суммы $x^3$, то останется точная производная еще от одного ряда. Если и в нем вынести подходящую степень $x$, будет точная производная геометрической прогрессии. Итого два дифференцирования и два умножения.

[ewert]

Я другое скажу:

veez в сообщении #1004135 писал(а):

Я нашел область сходимости

А нафига Вы её искали-то?.. Какое отношение значение суммы имеет к области сходимости?...

(это безотносительно к предыдущим рекомендациям, конечно; но и думать тоже иной раз бывает полезно)

[Dan B-Yallay]

Нашел и ну и ладно, жалко что ли?
Зато лишний раз поупражнялся

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1004310 писал(а):

Зато лишний раз поупражнялся

упражняться не думаючи зачем -- вредно абсолютно.

[grizzly]

(Оффтоп)

Мне тоже сразу подумалось про "а зачем?". Но тут же возникла гипотеза подходящей мотивации -- чтобы не попасть в карантин за отсутствие попыток решения. Если так и было, то демонстрация собственных усилий и понимания теоретического минимума выглядит вполне уместной в данном разделе (и, как видим, нужный результат был достигнут).