Разложение функции интеграла в ряд Маклорена

[Enne]

Подскажите пожалуйста!
Вчера на экзамене приключилась функция $F(x)=\int^x_0 (sent)/t$, просили разложить до пятого порядка.
Я вообще не очень хорошо поняла, как обращатсья с функциями этого типа. В прошлый раз на экзамене встретилась проиводная интегральной функции (? не уверенна, что это так называется, я учусь на иностранном языке), но там вроде я разобралась.
По идеи надо разложить синус, потом разделить члены на t, сохраняя знак интеграла, а потом? Надо ли брать интеграл? И что случается с о. Спасибо!

[PAV]

PAV:

Наберите формулу с использованием нотации TeX (см. здесь как это делать).

[Enne]

сделано.

[bot]

$sent$ это $sin$?

[Enne]

да, синус от t.

[Бодигрим]

Вам знакома теорема о почленном интегрировании функциональных рядов? Сформулируйте ее, пожалуйста, и подумайте, как ее здесь можно применить.

[Brukvalub]

Есть несколько разных по трудоемкости способов решения такой задачи: проинтегрировать почленно равномерно сходящийся на всей числовой прямой степенной ряд для подынтегральной функции, либо выписать члены искомого ряда, пользуясь определением ряда Маклорена и правилом дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом... Все зависит от Вашего объема знаний.

[Enne]

Brukvalub
то есть сначала нужно разложить подыинтегральную функцию, а потом уже ее проинтегрировать? Вроде так и сделала, получилось не слишком длнное решение (это вызвало у меня подозрение). то есть должно получиться.
$sent= t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}$

$sent/t=1-\frac{t^2}{3!}+\frac{t^4}{5!}$

$f(x)=\int^x_01dt-\int^x_0\frac{t^2dt}{3!}+\int^x_0\frac{t^4dt}{5!}$

$f(x)=x-\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^5}{5!5}$

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

но я везде пропустила о. Если идея правильная, подскажите, что с ним случится.

[Бодигрим]

Да, идейно верно. А вы можете записать все эти выкладки, не обрывая ряд Тейлора? Тогда можно будет легко понять, что случится с $o()$, когда вы на последнем шаге превратите ряд в многочлен с остаточным членом.

[Алексей К.]

Enne писал(а):

$sent= \ldots$

Алексей К., якобы от имени Brukvaluba, однажды писал(а):

...проверьте, что Вы сделали с синусом.

[Brukvalub]

Во-первых, Вы не написали, какую форму остаточного члена от Вас требуют в решении задачи. Во-вторых, если требуется его локальная форма, то ее можно выписать, если понять закономерность в появлении членов ряда.

[Enne]

по идеи должен выходить $o(t^5)$, однако, говорю это интуитивно. Думаю.

Добавлено спустя 6 минут 35 секунд:

гм, ну, наверное, потому что функция будет нечетной, следовательно, члены x в четной степени не будут присутствовать в разложении -- выходит $o(x^5)$

[Brukvalub]

Так можно записать, и это будет верно. Но можно и уточнить, повысив степень переменной в остаточном члене.

[Enne]

до какой? и по какому принципу повышается степень в остаточном члене?

[Brukvalub]

Чтобы это понять, выпишите еще один член разложения.