Связь геометрии и алгебры

[STilda]

День добрый. Вопрос такой.

По каким правилам, принципам, подходам ... осуществляется "приклеивание" к геометрическим формам алгебры чисел, в которой описываются соотношения этих форм? На сколько мне представляется, здесь есть определенная свобода выбора, и одни и теже формы можна изучать разными алгебрами получая различные соотношения. Например, для конкретики, бывает ли алгебра, где для длин сторон прямоугольного треугольника выполняется $a+b=c$ вместо теоремы пифагора. Или, где отношение длины окружности к диаметру не равно Пи.

Понятно, что отчасти тут возможны варианты с изменением метрики. Но целостная картина всех возможностей пока что не укладывается в голове.
Правомерно ли спрашивать, сколько метрик можно выдумать для плоскости? Есть ли метрики, в которых для прямоугольного треугольника выполняется $a^3+b^3=c^3$?. Что нужно, чтобы придумать алгебру, где это выполняется?

[AD]

Чтобы устроить кривую теорему Пифагора, возьмите гомеоморфизм $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $x\mapsto x^2$, и протащите через него нужные структуры, как мы это обсуждали здесь. Тогда будут новые операции над числами (длинами сторон) на той же самой плоскости.

[STilda]

AD писал(а):

Чтобы устроить кривую теорему Пифагора, возьмите гомеоморфизм $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $x\mapsto x^2$, и протащите через него нужные структуры, как мы это обсуждали здесь. Тогда будут новые операции над числами (длинами сторон) на той же самой плоскости.

Будет такая же, "ровная" теорема Пифагора. Потому, что в поле, в которое мы протащили нужные структуры (сложение и умножение), мы протащим и понятие единицы, двойки, тройки, соответствующие операциям этого поля. Тоесть, если было $+,*,1,2,3,..., 3*3+4*4=5*5$, то после протаскивания получим $+_o,*_o,1_o,2_o,3_o,..., 3_o*_o3_o+_o4_o*_o4_o=5_o*_o5_o$. Вид теоремы Пифагора не поменяется. В таком приеме связь между геометрией и алгеброй не фигурирует.

[STilda]

А что будет, если например плоские фигуры изучать не в действительных числах а в комплексных хотябы?
Вот, мы же померяли расстояние между двумя точками, получили длинну отрезка. Пока мы меряем, эта длинна отрезка есть натуральная величина. Когда мы начали вычислять, мы придали длинам свойство "положительность", когда мы начали выяснять взаиморасположение отрезков - начали их отнимать, тоесть наделять свойсвом "отрицательность", ну и так далее... Все характеристики фигур лежат в действительных числах. А нельзя ли начать наделять натуральные величины "комплексностью" и выяснять отношения между частями фигур уже в комплексной алгебре? Хм, что это мне в голову лезет )). Вот есть формула определения центра описанной вокруг треугольника окружности. Это в действительных числах. А там появится формула получающая на вход комлексные и выдающая некую комплексную характеристику. Ого. Но зато это даст возможность работать не только с длинами как числами а например с площадями как с числами, или сразу с двумя отрезками выходящими из одной точки как с одним числом (действительная и комплексная составляющая), и таким образом выяснять взаимоотношения не между отрезками а между более сложными объектами.

ПС.Я в шоке, а не бред ли это начался? ... Надеюсь продуктивный

[AD]

STilda писал(а):

Вид теоремы Пифагора не поменяется.

А вы что хотели? Я её вообще-то доказывать умею )) Если вид поменяется, то это уже не теорема Пифагора будет, а в лучшем случае теорема Пифагора--STildы.
Ну дело в том, что $3_o=\sqrt{3}$, ..., $5_o=\sqrt{5}$, и получается, что $3+_o4=5$. Числа остались прежними, операции поменялись => теорема Пифагора перезаписалась по-другому. Придумали алгебру. Вы ведь этого хотели?
Короче, я до сих пор вас не понимаю. Возможно, уже замылился этот разговор.

STilda писал(а):

А что будет, если например плоские фигуры изучать не в действительных числах а в комплексных хотябы?

Ээээ ... комплексифицировать не пробовали? Псевдориманову метрику не пробовали (мнимые расстояния)?

Вообще, знаете, у меня давно бродит (глубоко корыстная) мысль - почему норма в нормированных пространствах определяется как однородно-выпуклый (так, кажется) функционал? Ну то есть понятно почему, но мне вот хочется, чтобы была содержательная теория в "линейных пространствах с зафиксированным линейным функционалом". А тут до мнимых расстояний рукой подать ... надо просто из него корень извлечь ...

STilda писал(а):

ПС.Я в шоке, а не бред ли это начался? ... Надеюсь продуктивный

Ну-ну ... На бред надейтесь, а сами не плошайте ...

[AD]

Ну а насчёт кубической теоремы Пифагора я вам давно советую пространства $L_p(X)$ мучать. Любой показатель появляется. Правда, там углов нету вообще :)

[STilda]

AD писал(а):

Ну дело в том, что $3_o=\sqrt{3}$, ..., $5_o=\sqrt{5}$, и получается, что $3+_o4=5$. Числа остались прежними, операции поменялись => теорема Пифагора перезаписалась по-другому. Придумали алгебру. Вы ведь этого хотели?

Я не понимаю, как можно числа оставить прежними а операции поменять?. Мы рассматриваем либо исходное поле (без ноликов), либо изоморфное ему (с ноликами). Операции ведь вплетаются в само понятие чисел. А просто дополнительная функция $+_o$ на старом поле - это не то.

Значит так. Я сосредотачиваю свое внимание на моменте перехода от натуральных измеряемых величин, которые нам даны, в данном случае, от зрения (длин, площадей, объемов), к вычислениям над этими величинами. Это понятно? Второе. Вычисления производятся в определенной алгебре. Для этого мы натуральную величину делаем действительным числом, тоесть положительным либо отрицательным, либо нулевым. Именно в алгебре мы и получаем формулы и результаты, именно в ней описываем закономерности и взаимосвязи между, в прошлом, натуральными величинами. Кстати, кажется, поэтому Yarkin говорил про то, что теорема пифагора выполняется на прямой, и решение ВТФ мы ищем на прямой. Его "на прямой" означает, что натуральные величины мы засовываем в алгебру действительных чисел, и устанавливаем соотношения между ними на действительной оси. Похоже? Интересно где он. Но вот тут мы можем заметить некоторое несоответствие между зрительными отношениями между величинами и соотношениями между ними, полученными в алгебре. Например. Два катета треугольника имеют длины $a,b$. В алгебре мы можем спокойно получить $a-b=0$. Но зрительно же это странно, потому что компенсировались два ортогональных отрезка. Другое дело если бы они лежали на одной прямой. Тоесть алгебра действительных чисел не способна отразить взаиморасположение величин. Эту дырку закрывают вектора. На плоскости - двухмерные, или же комплексные числа. Тогда, натуральным сторонам треугольников будут в алгебре соответствовать комплексные числа, а теорема пифагора на плоскости примет вид $a+b=c$, вместо $a^2+b^2=c^2$ на прямой. (Здается мне это тоже похоже на товарища Yarkina) Тогда получим два отрезка перпендикулярны если их произведение есть чисто мнимое число, колинеарны - если чисто действительное, $sin(alpha)+cos(alpha)=1$, вместо $sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1$ и т.д. Алгебр у нас туева куча. Каждой алгебре будет соответствовать свои формулы и отношения между изначально зримыми величинами, в каждой алгбере будет своя тригонометрия (тут я под Ленского уже кошу) и т.д.
Не знаю, я понятно излагаю ход своих мыслЕй?

Так. Теперь про альтернативу алгебрам - вектора. Алгберы гиперкомплексных чисел изоморфны по "злополучной" теореме Фробениуса ( ) пространству $\mathbb{R}^n*\mathbb{C}^m*\mathbb{H}^k$. Тоесть это и есть определенная связь между векторным описанием и алгебраическим, тоесть они в этом смысле эквивалентны. Но. Во-первых, это только гиперкомплексные числа, во-вторых, не удобно работать в терминах векторов, если их размерность выше размерности фигур (тоесть, например, плоскую фигуру изучаем векторами с 10ю компонентами, наглядность пропадает), и вообще, если построения (матрицы, векторы) выдуманы с целью эмуляции поведения иных чисел с помощью действительных, так нужно их выкинуть в топку . Ну, это все размышления на тему, почему мне удобней будет в алгебрах ковыряться, чем в векторах. Вот. Мнимые единицы, кажется, адекватней приписывать к наблюдаемым величинам.

Добавлено спустя 10 минут 55 секунд:

О. А еще вектора можно только складывать разумно, а умножать и делить или не дай бог, начать искать соответствие трехэтажному полю в терминах векторов.... лучше и не браться ).

[AD]

STilda писал(а):

Я не понимаю, как можно числа оставить прежними а операции поменять?

Вы же сами меня этому и научили. Ну одно и то же множество, а отображения-операции взяты другие.

STilda писал(а):

Я сосредотачиваю свое внимание на моменте перехода от натуральных измеряемых величин, которые нам даны, в данном случае, от зрения (длин, площадей, объемов), к вычислениям над этими величинами. Это понятно?

НЕТ.

STilda писал(а):

Два катета треугольника имеют длины $a,b$. В алгебре мы можем спокойно получить $a-b=0$. Но зрительно же это странно, потому что компенсировались два ортогональных отрезка.

Ну если их приложить друг к другу, то всё станет понятно. А отрезки, которые можно приложить друг к другу, равны.

STilda писал(а):

а теорема пифагора на плоскости примет вид $a+b=c$

Это не теорема Пифагора, а "правило треугольника" сложения векторов. Теорема Пифагора будет иметь вид $|a|^2+|b|^2=|c|^2$. Найдите десять отличий в формулировке и в формуле.

STilda писал(а):

Тогда получим два отрезка перпендикулярны если их произведение есть чисто мнимое число, колинеарны - если чисто действительное,

Что за бред?
1. На $\mathbb{C}^1$ любые два вектора комплексно-коллинеарны,
2. а для действительной коллинеарности есть контрпример: $(1+i)(1-i)=2$, но эти векторы не коллинеарны,
3. и даже перпендикулярны.

STilda писал(а):

$sin(alpha)+cos(alpha)=1$

Что это у вас за синус и косинус такие и как вы их так определили? Кстати, не забывайте ставить backslash ("") перед ключевыми словами $\TeX$а, красивее будет: $\sin(\alpha)+\cos(\alpha)=1$.

STilda писал(а):

Алгберы гиперкомплексных чисел изоморфны по "злополучной" теореме Фробениуса ( ) пространству $\mathbb{R}^n*\mathbb{C}^m*\mathbb{H}^k$.

Кто вам такую глупость сказал? В алгебрах вида $\mathbb{R}^n\times\mathbb{C}^m\times\mathbb{H}^k$, если $m+n+k>1$, есть делители нуля, а теорема Фробениуса с ними вообще не разговаривает. Хотя, конечно, формально всё правильно, но
1. демонстрирует ваше непонимание теоремы и
2. подталкивает сделать усиление: "причём $m+n+k=1$".

STilda писал(а):

если построения (матрицы, векторы) выдуманы с целью эмуляции поведения иных чисел с помощью действительных, так нужно их выкинуть в топку .

Как разумную альтернативу сочините - рассмотрим. Меня пока всё устраивает.

STilda писал(а):

О. А еще вектора можно только складывать разумно, а умножать и делить ... ... ... лучше и не браться ).

Вот и я говорю - лучше не браться. Смысла нет. Непременно научиться хоть как-нибудь умножать и делить - это imho глупая цель. Лучше заметить, что разумно это сделать не удаётся, что и утверждает теорема Фробениуса.

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

Я сосредотачиваю свое внимание на моменте перехода от натуральных измеряемых величин, которые нам даны, в данном случае, от зрения (длин, площадей, объемов), к вычислениям над этими величинами. Это понятно?

НЕТ.

Ну вот так:
1. Есть геометрические натуральные величины (объекты: углы, отрезки, кривые линии). Мы не можем про них говорить что они положительные или отрицательные пока только смотрим на них.
2. Дальше нам захотелось исследовать между ними отношения и выявить зависимости. Для этого мы их загнали в алгебру действительных чисел: длинна, кривизна, угол - все есть действительные числа. Можно например прибавить к длинне отрезка величину угла в радианах и нормально. (Интересно, чтоб с глазами случилось при такой операции).
3. Получили, по яркину, что мы теперь перешли на прямую, на действительную ось. И в действительных числах выясняем отношения между плоскими/объемными объектами.
4. Значит имеем описание натуральных объектов в действительных числах.
5. Но. Никто не мешает для изучения отношений между зримыми натуральными величинами использовать комплексную алгебру. Почему мы должны два зрительно перпендикулярных отрезка одинаковой длинны $l$ при расчетах отображать одним и тем же числом $l$?
Где непонятно?

AD писал(а):

STilda писал(а):

Тогда получим два отрезка перпендикулярны если их произведение есть чисто мнимое число, колинеарны - если чисто действительное,

Что за бред?
1. На $\mathbb{C}^1$ любые два вектора комплексно-коллинеарны,
2. а для действительной коллинеарности есть контрпример: $(1+i)(1-i)=2$, но эти векторы не коллинеарны,
3. и даже перпендикулярны.

Отрезок плоскости с длинной проекции на ось иксов $x$ а на ось игреков $y$ будем отображать комплексным числом $x+i y$. Тогда 2.3. неуместно. Для 1. - я имею ввиду зрительно паралельны и перпендикулярны.

AD писал(а):

STilda писал(а):

$sin(alpha)+cos(alpha)=1$

Что это у вас за синус и косинус такие и как вы их так определили?

Отношение катета к гипотенузе (как комплексных величин).

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

Да, с теоремой пифагора я пока что нагнал, кажеться... и с косинусами тоже соответственно...

[AD]

STilda писал(а):

Тогда 2.3. неуместно.

Не понял. Почему неуместно? А, типа у вас проекции являются длинами и всегда положительны, что-ли? Ну тогда (2+i)(2+i)=3+4i, хотя отрезки параллельны.

STilda писал(а):

Где непонятно?

Неформальные рассуждения не могут быть понятны. В принципе. Приведите определение натуральной величины.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

STilda писал(а):

Почему мы должны два зрительно перпендикулярных отрезка одинаковой длинны $l$ при расчетах отображать одним и тем же числом $l$?

А вы сами так и изображаете - два перпендикулярных отрезка получают одно и то же число 1+i, так ведь? А еще ваши обозначения склеивают отрезки одинаково направленные, но расположенные в разных местах. Тоже плохо, как видите.

Добавлено спустя 1 минуту 36 секунд:

Про синусы еще подумаю, только синус комплексного числа - это нечто другое, всем уже известное, так что рекомендую менять обозначения. А заодно доказать независимость от выбора треугольника, на котором реализуется угол.

[STilda]

Я соласен, все сейчас сыро-сыро. В задродышевом состоянии и может и не родится. )). Так что ошибок много.

AD писал(а):

А, типа у вас проекции являются длинами и всегда положительны, что-ли? Ну тогда (2+i)(2+i)=3+4i, хотя отрезки параллельны.

Да.
Согласен, ошибка, не могу вспомнить почему я так решил. )).

Натуральная величина это то, что имеем до вычислений.

AD писал(а):

А вы сами так и изображаете - два перпендикулярных отрезка получают одно и то же число 1+i, так ведь?

Я хочу так сделать: отрезок (0,0)-(0,1) будет при вычислениях обозначаться $i$. Отрезок (0,0)-(1,0) будет обозначаться 1. Тоесть часть пространственного расположения перейдет в само число.

AD писал(а):

А еще ваши обозначения склеивают отрезки одинаково направленные, но расположенные в разных местах

Да, склеивают, но уже склеивается меньше зримых характеристик, чем склеивается в действительной алгебре. Нужно будет расклеить - можно попробовать добавить в алгебру дополнительные мнимые единицы.
Вообще-то, тут выяснять что лучше что хуже нет смысла. Это видится двумя равноправными паралельными вариантами.

AD писал(а):

А заодно доказать независимость от выбора треугольника, на котором реализуется угол

А это зачем? Может принцип подобия и не будет выполнятся. Он же выведен в действительной алгебре. Пока что кажеться, что теорема фалеса будет выполняться )). А подобие - не будет. Один и тот же угол в разных треугольниках будет иметь разный косинус. )). Зато такой косинус, возможно (пока только кажется), будет чувствителен к зеркальным отображениям фигур на плоскости.

Ну, в общем, хотелось бы найти иные свойства фигур иной алгеброй.

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

AD писал(а):

только синус комплексного числа

Не понял, откуда синус комплексного числа взялся. Просто "синус угла".
То, что угол - действительное число это вариант формальности, который можно, возможно, подменить.

Добавлено спустя 2 минуты 44 секунды:

синусом называется отношение длины катета к длине гипотенузы. да. можно поменять термин. буду называть плоским синусом отношение числа катета к числу гипотенузы. ).

[AD]

STilda писал(а):

Один и тот же угол в разных треугольниках будет иметь разный косинус. )).

Ну тогда уже нельзя писать "синус альфы". Нужно будет писать "синус альфы, родом из треугольника а бэ цэ".

STilda писал(а):

Я хочу так сделать: отрезок (0,0)-(0,1) будет при вычислениях обозначаться $i$. Отрезок (0,0)-(1,0) будет обозначаться 1. Тоесть часть пространственного расположения перейдет в само число.

Я говорю про то, что отрезки [0, 1+i] и [0, 1-i] склеются, хотя перпендикулярны. Так что не только с параллельными переносами проблема.