вычислить интеграл

[bayak]

Не получается вычислить интеграл

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(k(1+\mathrm{i}x)^{1-s}\right)}{1+\mathrm{i}x} \mathrm{e}^{-2\pi mx}dx,$$

где $k,m\in \mathbb{N}$, а $s\in\mathbb{C}$. Не знаю даже как подступиться.

[oniksofers]

Цитата:

Не получается вычислить интеграл

Прежде чем вычислять, хорошо бы подумать, а существует ли он?

[alcoholist]

oniksofers в сообщении #1002603 писал(а):

Прежде чем вычислять, хорошо бы подумать, а существует ли он?

Существование важно в последнюю очередь) Тут же параметры.

[bayak]

oniksofers, при $s=0$ интеграл вычисляется через значения интегральной показательной функции, точнее он равен

$$\frac{1}{2}(\operatorname{Ei}[\mathrm{i}(2\pi m + k)] + \operatorname{Ei}[\mathrm{i}(2\pi m - k)]).$$

[bayak]

Впрочем, если применить подстановку $y=(1+\mathrm{i}x)^{1-s}$, то можно свести его к интегралу

$$\int_{1}^{\infty}\frac{\exp \left(\mathrm{i}2\pi m y^{\frac{1}{1-s}}+ \mathrm{i}ky\right)}{y}dy - \int_{1}^{\infty}\frac{\exp\left(\mathrm{i}2\pi m y^{\frac{1}{1-s}}- \mathrm{i}ky\right)}{y}dy.$$

Правда, не уверен в законности такой подстановки, и потом, не понятно как нужно действовать дальше.