Многомерный циркуль

[Terraniux]

Помогите, пожалуйста, натолкнуть на идею решения задачи.

Даны инструменты, циркуль и линейка в $n$-мерном пространстве. Циркуль может строить гиперсферу $S^{n-1}$ любого радиуса, линейка - $n-1$-плоскости. Можно ли этими инструментами построить плоский правильный семиугольник хотя бы при каком-нибудь значении $n$?
Пока что есть одна идея -- нужно доказывать невозможность, т.к. кажется, что если бы такое построение существовало, то должно было бы существовать построение на плоскости, что невозможно.
Правильно ли это? Если нет, в каком направлении нужно думать?

[Evgenjy]

Terraniux в сообщении #1001284 писал(а):

нужно доказывать невозможность, т.к. кажется, что если бы такое построение существовало, то должно было бы существовать построение на плоскости, что невозможно.
Правильно ли это?

Рассмотрим одномерную геометрию с одномерным циркулем и одномерной линейкой. Одномерный циркуль дает возможность построить симметричную точку относительно другой точки (центра). Одномерная линейка, можно сказать ничего не дает.
В этой геометрии этими инструментами нельзя поделить отрезок пополам. А когда выходим в плоскость, появляется эта возможность. Так что, может быть, и при дальнейших увлечениях размерности будут появляться новые возможности.
Про семиугольник через $n$-мерные построения может быть тоже поможет теория Галуа?

[Hasek]

Теорема Гаусса-Ванцеля (погуглите) утверждает, что правильный семиугольник нельзя построить на плоскости циркулем и линейкой. Если мы собираемся строить на чём-то размерности больше плоскости, то будут получаться точки, не лежащие, вообще говоря, в одной плоскости (а речь, как понимаю, всё же о построении плоской фигуры). Так что нет, нельзя.

Evgenjy в сообщении#1001284 писал(а):

Про семиугольник через $n$-мерные построения может быть тоже поможет теория Галуа?

Если не секрет, какое отношение к этому имеет теория Галуа? Совсем не очевидно, как с её помощью может решаться подобная задача.

[Terraniux]

Hasek
Спасибо, но это мне знакомо (и в ОП это, вроде, отмечено).
Вопрос был именно в старших размерномтях - не очевидно, с чего бы, имея такие инструменты, нельзя построить. Например,

Hasek в сообщении #1001800 писал(а):

то будут получаться точки, не лежащие, вообще говоря, в одной плоскости

Какие точки, где будут получаться?

[Hasek]

Вы можете построить, в лучшем случае, правильный $(n-1)$-мерный симплекс, отложив от одной точки $n$ перпендикуляров (поскольку пространство $n$-мерное) с помощью Ваших многомерных циркуля и линейки, потом на каждом перпендикуляре линейкой отмерить равные отрезки и соединить их концы (сделать джойн $n$ построенных на предыдущем шаге линейкой точек). Но это не плоская фигура в общем случае.
А если вы хотите получить плоскую фигуру, то должны, во-первых, получить плоскость, а, во-вторых, построить семиугольник на этой плоскости. Если получить плоскость легко (возьмите, допустим, плоскостью, построенную "линейкой" в случае $n=3$), то построить на ней семиугольник невозможно в силу указанной теоремы, так как пересечение $(n-1)$-мерной гиперплоскости, построенной многомерной линейкой, с плоскостью даёт нам обычную прямую, построенную обычной линейкой (случай совпадения не рассматриваем по понятной причине), аналогично и для фигуры, вычерченной многомерным циркулем. То есть свелось к невозможному построению. Если же Вы строите некую фигуру без привязки к какой-либо выбранной двумерной плоскости, то у Вас потом нет возможности доказать, что её точки (если их больше 3 :) ) лежат в одной двумерной плоскости.

[Terraniux]

Hasek
Спасибо, так и думал, что нужно думать в сторону пересечений (тоесть, если что-то нам даёт построение в пр-ве, то из этого следовало бы возможность построения на плоскости, что невозможно).

[ИСН]

Вы только что убедительно доказали, что вылезать в пространства более высоких размерностей нет никакого смысла. Чего мы не могли сделать на прямой (располовинить отрезок, например), того и нигде не сможем. "Не жили хорошо, нечего и начинать".
Семимерный симплекс с вершинами в нуле и в точках $(1,0,0,0,0,0,0)$ (+варианты с единицей на других местах), помахивая хвостом, неторопливо проходит мимо и удаляется в туман.

-- менее минуты назад --

Hasek в сообщении #1001814 писал(а):

Но это не плоская фигура в общем случае.

Да, разумеется. А проекцию точки на плоскость мы можем найти, например?

-- менее минуты назад --

Пока писал это сообщение, я сам себя убедил в нескольких противоположных вещах. Надо ещё подумать.

[Hasek]

ИСН в сообщении #1001829 писал(а):

Да, разумеется. А проекцию точки на плоскость мы можем найти, например?

Можем. Умеем ведь циркулем и линейкой строить перпендикуляр.

[patzer2097]

Похоже, что многомерный циркуль не позволяет сделать ничего нового по сравнению с двумерным; ниже - набросок доказательства.

Каждая новая точка определяется системой уравнений, каждое из которых имеет вид $(x_1-a_1)^2+...+(x_n-a_n)^2=b$ или $a_1x_1+...+a_nz_n+b=0$, где $a_i$ и $b$ - это числа, которые мы умеем строить. Из первого уравнения $x_1^2+...+x_n^2$ можно линейно выразить через $x_i$, поэтому можно считать, что все уравнения, кроме может быть одного, имеют второй вид. А тогда все $x_i$ являются линейными функциями друг друга, и далее все просто.