Приращение и дифференциал

[Qazed]

Здравствуйте, поясните, пожалуйста, смысл обозначений (определения теплоёмкости):

$$ C = \dfrac{\delta Q}{\delta T} \quad (1) $$

$$ C = \dfrac{Q}{\Delta T} \quad (2)$$

$$ C = \dfrac{\delta Q}{\mathrm d T} \quad (3) $$

Насколько я понимаю дифференциал $\mathrm d$ --- это бесконечно малое приращение (в классическом анализе) или бесконечно малый элемент, например, объёма $\mathrm d V$ (в неклассическом). Чем отличается $\delta$ от $\mathrm d$?

[Qazed]

Порой под утро понимаешь, что анализ-то нестандартный

[user14284]

d для точной дифференциальной формы, дельта иначе. Точная -- значит это дифференциал чего-то. Интегралы от точных форм не зависят от пути.

Думать о дифференциалах как о бесконечно малых элементах может и удобно, но неправильно.

[Евгений Машеров]

Только предположу, что это отражение не принципиальных различий, а различий в уровне строгости авторов.
$\Delta$ обычно обозначает конечное изменение, и автор пренебрегает возможными нелинейными эффектами.
d - бесконечно малое изменение (в смысле ли нестандартного анализа, или как предел), и автор пренебрегает атомной структурой вещества, не дающей получить "бесконечно малое".
$\delta$ - "достаточная малая" величина, так что нелинейные эффекты пренебрежимы, но не "бесконечно малая", физически здесь недостижимая.

(Оффтоп)

Впрочем, это научная гипотенуза, а я в таких вещах не вполне копенгаген

[ИСН]

Коротко: 1 неверно, 2 - для тех, кто ещё не проходил дифференциального исчисления, 3 - верно. Различие между $d$ и $\delta$ в том, что $T$ (так же как $U$, $S$ и т.п.) - функция состояния, а $Q$ - нет, поэтому там дифференциал, а тут дельта.

[VanD]

user14284 в сообщении #999224 писал(а):

d для точной дифференциальной формы, дельта иначе

Вот это правильное объяснение. По-хорошему бы использовать какое-то другое обозначение наверно, не $\delta Q$, а другую букву, но физики против, их всё устраивает и ладно. Иными словами, здесь $\delta Q$ - неделимое обозначение, это не "$\delta$ от $Q$".
Ну а $C$ - коэффициент пропорциональности между $dT$ и $\delta Q$ (в частности, $\frac {1} {C}$ - интегрирующий множитель для $\delta Q$)

[Qazed]

Благодарю

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы...
Как в этих обозначениях определить удельную теплоту плавления в-ва в точке?

$$ \lambda = \dfrac{\delta Q}{\mathrm{d} m} \quad (1)$$

$$ \lambda = \dfrac{\delta Q}{\delta m} \quad (2) $$

[Qazed]

Вверх

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #999230 писал(а):

Только предположу, что это отражение не принципиальных различий, а различий в уровне строгости авторов.
$\Delta$ обычно обозначает конечное изменение, и автор пренебрегает возможными нелинейными эффектами.
$\mathrm{d}$ - бесконечно малое изменение (в смысле ли нестандартного анализа, или как предел), и автор пренебрегает атомной структурой вещества, не дающей получить "бесконечно малое".
$\delta$ - "достаточная малая" величина, так что нелинейные эффекты пренебрежимы, но не "бесконечно малая", физически здесь недостижимая.

Обычно в физике различия $\mathrm{d}$ и $\delta$ другие. Во-первых, довольно редко их используют вместе. Обычно в смысле "бесконечно малая" обозначается просто $\mathrm{d}$ или просто $\delta.$

Но когда эти два обозначения встречаются вместе, то они подразумевают такую вещь: есть некоторая функция (в термодинамике - функция состояния системы, больше известная как уравнение состояния). И буквой $\mathrm{d}$ обозначаются такие "бесконечно малые", которые могут пониматься как дифференциалы в смысле этой функции: дифференциалы независимых переменных, дифференциалы функций от них, и т. п. А вот буквой $\delta$ обозначаются такие "бесконечно малые", которые не могут пониматься как дифференциалы в контексте этой функции.

В термодинамике: есть состояние системы, которое задаётся какими-то параметрами: давление $P,$ объём $V,$ температура $T,$ энтропия $S$ и т. п. И есть переход из одного состояния в другое состояние. Если какая-то физическая величина определяется только состоянием и параметрами состояния, то её бесконечно малое изменение записывают как $\mathrm{d}.$ А если какая-то физическая величина зависит от способа достижения состояния, то есть, от траектории в пространстве состояний, то вот тогда бесконечно малое изменение такой величины записывается как $\delta.$ (Кажется, аналогично в механике. Точно не помню.)

И ещё: обычно в физике пишут $d,$ а не $\mathrm{d}.$ И нестандартный анализ в физике не используют и даже не вспоминают.

[Qazed]

Рискую навлечь на себя ваш гнев:

Цитата:

Нестандартный анализ — альтернативный подход к обоснованию математического анализа, в котором бесконечно малые — не переменные величины, а особый вид чисел. В нестандартном анализе на современной основе реализуется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Недоверие к актуальным бесконечным величинам в математике объяснялось трудностями их формального обоснования. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть $d V$ — (бесконечно малый) элемент объёма…».

(Википедия)

[Toucan]

Qazed в сообщении #1002009 писал(а):

Вверх

Qazed, замечание за искусственный подъем темы бессодержательным сообщением.

[Munin]

Qazed в сообщении #1002054 писал(а):

Рискую навлечь на себя ваш гнев

Гнева не будет, только усталость от самоуверенных дилетантов.

Актуальные бесконечно малые - это одно. Нестандартный анализ - это другое. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка. И Викимусорка - не учебник.

[patzer2097]

Munin в сообщении #1002070 писал(а):

И Викимусорка - не учебник.

Верно, но Википедия - не "викимусорка", кстати

[Munin]

Викимусорка, Викимусорка...