Попытка решить диофантово уравнение

[TR63]

Deggial: отделено из этой темы. Предмет обсуждения = помогите найти ошибку или подтвердите правильность рассуждения.

nnosipov в сообщении #1001473 писал(а):

$$ 2x^4-xy^3+y^3-y^2=0? $$

В

Решать будем в натуральных положительных числах.
Предположим, что решение существует. Тогда можно сделать замену
$x=y-a>0$
$2a^4-8ya^3+12y^2a^2-7y^3a+(y^4+y^3-y^2)=0$
Это уравнение не может иметь отрицательных корней и не может иметь четырёх положительных корней (с учётом критерия Гурвица; в данном случае будет неустойчивость). Допустим, что имеется два положительных корня.
По теореме Виета $a_1+a_2-2b=4y$. Т.к. $a_1<y$ то $a_2>3y$
Но фактически эти два корня находятся в промежутке $(0;y)$ (с учётом, что $(f(a=\frac1 2y)<0)$. Получили противоречие.

[TR63]

Приведу немного сведений из теории устойчивости многочленов.
$x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$
Все коэффициенты положительны. Для устойчивости необходимо и достаточно выполнения условия:
$a_4<\frac{a_1a_2a_3-a_3^2}{a_1^2}$.
Если это условие не выполняется, то многочлен неустойчив. Применим этот критерий к нашему уравнению:
$a^4-4ya^3+6y^2a^2-3.5y^3a+\frac{y^4+y^3-y^2}{2}=0$

$\frac{y^4+y^3-y^2}{2}>\frac{3.5y^3(4y6y^2-3.5y^3)}{16y^2}$
Отсюда пошла ошибка. Многочлен получается устойчив. (Если бы он был неустойчив, то всё бы сошлось; кстати, он устойчив во всей области определения-это для меня полезная информация).