Система векторов линейнонезависима.

[2old]

Пусть дана система векторов

$$a_{i}=(a_{i1},\dots,a_{in}), i=1,\dots,s; s\leq n$$

Доказать, что если

$$|a_{ij}|>\sum\limits_{i=1,i\neq j}|a_{ij}|$$

для всякого $j = 1,\dots,s$, то данная система векторов линейно независима.

Первый взгляд на задачу был такой: по условию мы формируем укороченный набор векторов, если он линейно независим, то исходный линейно независим. Для этого нужно показать что ранг получившийся матрицы, где строки - вектора $a_i$, укороченные до координаты $s$, равен $s$. Видимо, исходя из неравенств получим везде вне главной диагонали нули, а на ней что угодно отличное от нуля и готово.

Но когда начал выписывать неравенство для элементов лежащих не на главной диагонали получился затык. Для $a_{lk}$

$$|a_{lk}|>\sum\limits_{i=1,i\neq k,i\neq l} |a_{ik}|+|a_{lk}|$$

$$0>\sum\limits_{i=1,i\neq k,i\neq l} |a_{ik}|$$

И решений нет.

[Dan B-Yallay]

2old в сообщении #1001499 писал(а):

Доказать, что если

$$|a_{ij}|>\sum\limits_{i=1,i\neq j}|a_{ij}|$$

Чево? Поясните ка словами, что у вас слева и справа.

[iifat]

Проверьте, что написали. Внимательно проверьте. Первая формула очень похожа на условие диагонального преобладания, но только похожа. Не то у вас там две-три опечатки, не то я вообще не понимаю, о чём речь.

[2old]

Dan B-Yallay
У нас есть квадратная матрица размером $s$. Модуль любого элемента этой матрицы больше чем сумма модулей элементов в этом же столбце, не включая диагонального.

iifat
Это задача 6.14 из задачника Кострикина. Поправил опечатку вместо $s<n$ там $s\leq n$. Больше нет вроде
https://pp.vk.me/c624330/v624330259/2b841/veoqC-5eSRs.jpg

[Dan B-Yallay]

2old в сообщении #1001515 писал(а):

У нас есть квадратная матрица размером $s$. Модуль любого элемента этой матрицы больше чем сумма модулей элементов в этом же столбце, не включая диагонального.

Хорошо. Теперь попробуйте состряпать пример такой матрицы.

[2old]

Dan B-Yallay
Так я вроде же показал, что не получится

[Dan B-Yallay]

А, ну да. Вывод: либо Вы неправильно переписали задачку, либо преподаватель не отошел от воскресного отдыха. Покажите ваши выкладки ему и пусть исправит условия.

[iifat]

Судя по картинке, опечатка в учебнике. Скорее всего, имелось с виду $|a_{jj}|>\sum\limits_{1\leq i\leq n,i\neq j}|a_{ij}|$.

[2old]

iifat
Тогда вроде так.

Пусть наша матрица $A$ неполного ранга. Тогда найдется ненулевой вектор $x$, такой что $Ax=0$.
Какая-нибудь $i$-я координата нулевого вектора тогда запишется как:

$$a_{jj}x_j+\sum\limits_{i\neq j} a_{ij}x_j = 0$$

Отсюда

$$a_{jj}= \frac{-1}{x_j}\sum\limits_{i\neq j} a_{ij}x_j$$

Теперь выберем какой-нибудь $x_j$, который нестрого больше остальных, т.е. их отношение $\leq 1$ (хотя бы один ненулевой обязательно найдется).
Отсюда

$$|a_{jj}| \leq |\frac{-1}{x_j}\sum\limits_{i\neq j} a_{ij}x_j| \leq \sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|$$

Противоречие, значит решением будет только нулевой вектор. Значит матрица полного ранга.

[iifat]

2old в сообщении #1001528 писал(а):

Какая-нибудь $i$-я координата нулевого вектора тогда запишется как:

Вот этих слов категорически не понимаю. Остальное вроде верно.

[nnosipov]

Опечатки нет вот в этом издании:
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. 9-е издание. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
Здесь это № 651. Он со звёздочкой, но она означает, что к этой задаче есть указание или решение.