Пределы с факториалами

[GlazkovD]

Начал в этом семестре изучать ряды.
Как известно, в теме ряды порой требуется вести поиск различных нестандартных пределов.

Например столкнулся с таким:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac {(2n)!} {(2n+2)!}$$

Не подскажете, как этот предел взять ?
и заодно где можно почитать про какие небудь свойства факториала, для разруливания подобного рода ситуаций.
(Т.е можете что небудь посоветовать почитать по обычной математике, для подготовки к решению задач на тему ряды).

От препода вышки на установочной слышал про такие свойства

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n ^ {p}}=1$$

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(n+c) ^ {p}}=1$$

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}<>1$$

Не подскажете, правильны ли они, и откуда они получаются, или где про них прочитать. Заранее спасибо.

[AD]

Предел считается очень просто - вот мы в соседней теме это уже неплохо разжевали: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=11848&start=0

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

Первые два свойства правильные, нужно лишь сказать, что $\sqrt[n]{n}=e^{\frac1n\ln n}$, и всё станет очевидно. Третье свойство - не понял вас.

[Brukvalub]

\[ \sqrt[n]{{n!}} \to \infty \;,\;n \to \infty \]

[PAV]

По поводу же свойств факториала (особенно для нахождения всякого рода пределов) - посмотрите формулу Стирлинга.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал

[Алексей К.]

GlazkovD писал(а):

Например столкнулся с таким:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac {(2n)!} {(2n+2)!}$$

Не подскажете, как этот предел взять ?

Позвольте, но ведь всё сокращается!?:

$$ \frac {(2n)!} {(2n+2)!}=\frac{1\cdot 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot\ldots \cdot(2n-2)\cdot(2n-1)\cdot(2n)}{1\cdot 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot\ldots \cdot(2n-2)\cdot(2n-1)\cdot(2n)\cdot(2n+1)\cdot(2n+2)}=\frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+2)} $$

Или опять чего-то с глазами?

[GlazkovD]

Спасибо большое.
Насчет факториала(с примером)

$$ \frac {n!} {(n-1)!}=n $$

разобрался.

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n ^ {p}}=1$$

тоже разобрался

Осталось разобраться с

$$ \sqrt [n] {n!}$$

при n бесконечном. Буду думать

ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО !!!!!! вы меня сдвинули с мертвой точки показав данные примеры. Теперь я знаю в каком направлении идти в таких ситуациях, и как думать в таких ситуациях !

[V.V.]

GlazkovD писал(а):

Осталось разобраться с

$$ \sqrt [n] {n!}$$

при n бесконечном. Буду думать

Формула Стирлинга.

[Brukvalub]

V.V. писал(а):

Формула Стирлинга.

Можно и без неё.

\[ \sqrt[n]{{n!}} = \sqrt[n]{{(k - 1)!k(k + 1)...n}} > k^{\frac{{n - k}}{n}} \to k \]

[venja]

Brukvalub писал(а):

V.V. писал(а):

Формула Стирлинга.

Можно и без неё.

\[ \sqrt[n]{{n!}} = \sqrt[n]{{(k - 1)!k(k + 1)...n}} > k^{\frac{{n - k}}{n}} \to k \]

Забавно!