2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Наивное доказательство
Сообщение09.07.2015, 21:01 


15/12/05
754
  1. Пусть $z,y,x,s \in \mathbb{N}$ $$z>y>x>s$$
  2. $$z=y+x-s$$
  3. $$z^3=(y+x-s)^3$$
  4. $$z^3=y^3+\underbrace {\color{red}{3(y+x-s)y(x-s)}+{\color{blue}(x-s)^3}}_{\makebox[1pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}>{\color{blue}(x-s)^3$}}}$$
  5. $$z^3=y^3+\underbrace {\color{red}{3(y+x-s)y(x-s)}+{\color{blue}x^3-3xs(x-s)-s^3}}_{\makebox[1pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}>{\color{blue}(x-s)^3$}}}$$
  6. $${\color{green}z^3=y^3}+\underbrace {\color{red}{3(y+x-s)y(x-s)}+{\color{green}x^3}{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}}_{\makebox[1pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}>>{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}}}$$
  7. Противоречие для ВТФ $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}>0}}$$
  8. Таким образом, $$\makebox[0pt][c]{{\color{green}z^3=y^3+x^3}{+\color{red}3(y+x-s)y(x-s)}{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение09.07.2015, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
Как вы от 6 перешли к 7?
(с учетом того, что существуют числа $x, s, y$, удовлетворяющие 1, но не 7)

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение09.07.2015, 23:16 


15/12/05
754
mihaild в сообщении #1035317 писал(а):
Как вы от 6 перешли к 7?
(с учетом того, что существуют числа $x, s, y$, удовлетворяющие 1, но не 7)


Спасибо за замечание.

Извиняюсь, обнаружил нестыковочку.
Все было бы хорошо, если бы это выполнялось и для степени 2.

  1. Пусть $z,y,x,s \in \mathbb{N}$ $$z>y>x>s$$
  2. $$z=y+x-s$$
  3. $$z^2=(y+x-s)^2$$
  4. $$z^2=y^2+\underbrace {\color{red}{2y(x-s)}+{\color{blue}(x-s)^2}}_{\makebox[1pt][c]{{\color{red}$2y(x-s)}>{\color{blue}(x-s)^2$}}}$$
  5. $$z^2=y^2+\underbrace {\color{red}{2y(x-s)}+{\color{blue}x^2-2xs+s^2}}_{\makebox[1pt][c]{{\color{red}$2y(x-s)}>{\color{blue}(x-s)^2$}}}$$
  6. $${\color{green}z^2=y^2}+\underbrace {\color{red}{2y(x-s)}+{\color{green}x^2}{\color{blue}-2xs+s^2}}_{\makebox[1pt][c]{{\color{red}$2y(x-s)}={\color{blue}-2xs+s^2}}}$$
  7. По теореме Пифагора $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$2y(x-s)}{\color{blue}-2xs+s^2}=0}}$$
  8. Таким образом, $$\makebox[0pt][c]{{\color{green}z^2=y^2+x^2}{+\color{red}2y(x-s)}{\color{blue}-2xs+s^2}={\color{green}y^2+x^2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение09.07.2015, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
ananova в сообщении #1035319 писал(а):
По теореме Пифагора

К чему Вы применяете теорему Пифагора?

Впрочем, 7 следует сразу из 6 и $z^2 = x^2 + y^2$. Но что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение09.07.2015, 23:53 


15/12/05
754
mihaild в сообщении #1035322 писал(а):
что дальше?


Дальше нужно доказать, что это неравенство справедливо

ananova в сообщении #1035279 писал(а):
7. Противоречие для ВТФ $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}>0}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение09.07.2015, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
ananova в сообщении #1035329 писал(а):
Дальше нужно доказать, что это неравенство справедливо

ananova в сообщении #1035279

писал(а):
7. Противоречие для ВТФ $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}>0}}$$


Доказать это только из предположения, что $y > x > s$ не получится. И причем тут пифагоровы тройки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 00:05 


15/12/05
754
mihaild в сообщении #1035330 писал(а):
Доказать это только из предположения, что $y > x > s$ не получится.


Докажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
mihaild в сообщении #1035317 писал(а):
существуют числа $x, s, y$, удовлетворяющие 1, но не 7

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 08:01 


15/12/05
754

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1035335 писал(а):
mihaild в сообщении #1035317 писал(а):
существуют числа $x, s, y$, удовлетворяющие 1, но не 7

Это комментарий, а не доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 17:30 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый ananova!

$3(y +x-s)y(x-s)-3xs(x-s)-s^3 > 0$


Это неравенство ошибочно. Чтобы Вам показать ошибочность, воспользуюсь формулами

Абеля и их следствием для 2 случая ВТФ для $n = 3$. Пусть $(z, 3) = 3$.

$x-s =z-y = x_1^3$,

$s =x + y-z = x_1y_1z_1$,

$3(x +y) =z_1^3$.

$y + x-s = z$

С учетом этих соотношений Ваше неравенство превратим в равенство.

$$3(y +x-s)y(x-s)-3xs(x-s)-s^3 = 3zyx_1^3-3x(x + y-z)x_1^3-x_1^3y_1^3z_1^3 =

=x_1^3(3zy-3x^2-3xy + 3zx-y_1^3z_1^3) =

=x_1^3[3z( x +y) -3x(x + y)-3y_1^3(x +y)] =

= 3x_1^3(x +y)( z -x -y_1^3) = 0$$,

так как $z -x =y_1^3$. Противоречия нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 20:11 


15/12/05
754
vasili,

Благодарю за ответ. Действительно, Вы правы - если свести все к тождеству, то никаких противоречий не будет. Вы это продемонстрировали. С одним только но - подобные тождества справедливы для иррациональных значений одной или нескольких переменных.

Я пробую "увести" Вас от тождества, - если Вы воспользуетесь только условиями (1) и (2), не связанными основными арифметическими ограничениями ВТФ, т.е. для всех положительных чисел, связанных условием (2).

1. Пусть $z,y,x,s \in \mathbb{N}$ $$z>y>x>s>0$$
2. $$z=y+x-s$$
то получите 7. $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(y+x-s)y(x-s)}{\color{blue}-3xs(x-s)-s^3}>0}}$$

Доказать, что неравенство (7.) справедливо для любых натуральных чисел, полагаю не просто.

-- Пт июл 10, 2015 20:30:07 --

Эту задачу можно сформулировать проще:

1. Пусть $a,b,c  \in \mathbb{N}$ и $$a>b>c>0$$
Доказать, что
2. $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(a+b-c)a(b-c)}{\color{blue}-3bc(b-c)-c^3}>0}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
ananova в сообщении #1035549 писал(а):
1. Пусть $a,b,c  \in \mathbb{N}$ и $$a>b>c>0$$
Доказать, что
2. $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(a+b-c)a(b-c)}{\color{blue}-3bc(b-c)-c^3}>0}}$$

Это действительно очень сложно доказать.

Подсказка: подставьте $a = b + 1 = c + 2$ и посмотрите, что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 21:12 


15/12/05
754
mihaild
Если я Вас правильно понял, необходимо уточнить условие 2:

1. Пусть $a,b,c  \in \mathbb{N}$ и $$a>b>c>0$$
Доказать, что
2. $${\makebox[0pt][c]{{\color{red}$3(a+b-c)a(b-c)}{\color{blue}-3bc(b-c)-c^3}\not =0}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
Вот такое утверждение уже действительно эквивалентно ВТФ для $n=3$ (и вы это доказали).
Теперь осталось доказать $1 \Rightarrow 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивное доказательство
Сообщение10.07.2015, 21:55 


15/12/05
754
Это утверждение даже несколько шире чем ВТФ, т.к. нет, например, ограничений $$(a,b)=1; (a,a+b-c)=1; (a+b-c,b)=1$$ Может без них будет проще доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group